-61- 第３章 各学年の内容 １ 第１学年の内容 〔Ａ 数と計算〕 Ａ（1）数の意味と数の表し方 (1) ものの個数を数えることなどの活動を通して，数の意味について理解し， 数を用いることができるようにする。 ア ものとものとを対応させることによって，ものの個数を比べること。 イ 個数や順番を正しく数えたり表したりすること。 ウ 数の大小や順序を考えることによって，数の系列を作ったり，数直線の 上に表したりすること。 エ 一つの数をほかの数の和や差としてみるなど，ほかの数と関係付けてみ ること。 オ ２位数の表し方について理解すること。 カ 簡単な場合について，３位数の表し方を知ること。 キ 数を十を単位としてみること。 〔算数的活動〕( 1 ) ア 具体物をまとめて数えたり等分したりし，それを整理して表す活動 〔用語・記号〕 一の位 十の位 ものとものとを対応させることによって，ものの個数を比べるなどの活動から始ま --1/162-- -62- り，やがて，その個数を正しく数えたり，数えたものの個数を数字で表したりするこ とができるようにする。また，こうした活動を通して，数の大小や順序を知り，次第 に数の意味，100までの数の構成について理解できるようにする。 さらに，簡単な場合についての３位数の表し方も理解できるようにする。 ア 個数を比べること ものの個数を比べようとするとき，それぞれの個数を数えなくても，１対１の対応 をつけることで，個数の大小や相等が判断できる。例えば，下の図では，ブロック■ とおはじき●との間に１対１の対応をさせることで，おはじき●の数の方が多いこと が分かる。 直接比べにくい場合，具体物に置き換えて比べることもできる。例えば，音の回数 のように見えないもの，通りすぎる車の台数のように動いているもの，校庭にある木 の本数など手元の操作ができないものは，これらの一つ一つとおはじきなどを１対１ に対応させ，対応させたおはじきなどの個数で比べることができる。 ものの個数と数詞とを１対１に正しく対応させて数えることや，数で大小を比べる ことなどへと導くためには，このようにものとものとを対応させる活動を踏まえるこ とが大切となる。 イ 個数や順番を数えること ものの個数を数えようとするとき，数えるものの集まりを明確にとらえることが大 切である。次に，数える対象に「いち，に，さん，し，…」という数詞を順番に１対 １に正しく対応させて唱え，対応が完成したときの最後の数によってものの個数を表 す。 また，順番を表すという面からも数についての理解を図ることが必要になる。順番 を調べる対象に，順に数を対応させていき，その対応する数によってその順番を知る ことができる。このとき，最後の順番を表す数は，個数を表す数と一致する。 ０については，次の意味が次第に理解できるよう配慮する必要がある。 ■■■■ ●●●●● --2/162-- -63- @ 玉入れなどのゲームにおいて得点がない場合や，具体的な量が１ずつ減少して いってなくなるという場合などの体験を通し，何もないという意味に用いる。こ のとき，０がほかの数と同じ仲間としてみられるようにすることが大切である。 A 70や80の一の位の０のように，十進位取り記数法で，空位を表すのに用いる。 B 数直線で，基準の位置を表すのに用いる。 ウ 数の大小，順序と数直線 直線上に基準となる点を決めてそれに０を対応させ，決めた長さを単位にして目盛 りを付け，点の位置で数を表した直線を数直線という。この数直線を用いると数の大 小や順序，系列などが分かりやすく表現できる。 その導入に際しては，一列に並んだものの順番などを示すことと関連させながら取 り扱うようにする。また，目盛りが５や10などの数直線や，目盛りが50からなど途中 からの数直線についても，次第に理解できるようにする。 なお，用語としての数直線は第３学年で取り扱うことになっている。 エ 一つの数をほかの数の和や差としてみること 整数については，ものの個数を数えるという操作から理解が始まるが，次第に，一 つの数を合成や分解により構成的にみることができるよう，活動を通して学んでいく ようにする。この数の合成や分解を理解するということは，数の意味の確立に欠かせ ないものである。例えば，５個のおはじきを，下の図のように，ものの集まりを組み 合わせたものとしてみることができるようにする。 また，一つの数をほかの数と関係付けてみることについても指導する。例えば，８ という数を10という数に関係付けてみると，８は10より２小さいということから，差 で10−2と表すことにつながる。 さらに，このような見方は，加法，減法の計算における繰り上がり，繰り下がりに ついての理解の素地としても重要な内容である。例えば，８＋６という計算では， 「ま ● と ●●●● ●● と ●●● ●●● と ●● ●●●● と ● --3/162-- -64- ず，８は10より２小さい。６は２と４の和である。そして，８と２で10。この10と４ で14となる。」と考えることがある。 このようにして，数についての多面的な見方ができるようにし，数についての感覚 を豊かにすることが大切である。 オ ２位数の表し方 第１学年では，十進位取り記数法の原理についての基礎的な理解を図ることをねら いとしている。 ２位数については，具体物を数えたり，具体物を用いて数を表したりするなどの活 動を通して指導することが大切である。このような活動を通して，何十何という数が， 10のまとまりの個数と端数という数え方を基にして構成されていることを理解し，数 の構成についての感覚を豊かにする。 また，数を数字で書き表す場合，十進位取り記数法によれば，一，十，百などの単 位の大きさを表すのに，位置の違いを利用するので，記号が少なくてすむ。また，数 の大小についての判断や，第２学年から取り扱われる筆算形式による四則計算もこれ によって簡単にできるようになるなど，具体的な内容の取扱いの過程でこの考え方の よさについて分かるようにすることが大切である。 なお，十進位取り記数法の理解を図るために「一の位」 ， 「十の位」の意味と用語 を指導する。例えば，43については，一の位は３，十の位は４であり，これは１が３ 個，10が４個あるという意味である。 カ 簡単な場合の３位数の表し方 簡単な場合について，３位数の表し方を指導する。ここでの簡単な場合とは，120 程度までの３位数である。 具体物を数えて，100のまとまり，10のまとまりの個数，端数として表すなどの活 動に取り組むようにすることで，２位数までの意味や表し方について確実に理解でき るようにしたり，第２学年で扱う３位数へと連続性や発展性をもって接続できるよう にしたりする。 キ 十を単位とした数の見方 第１学年では，10のまとまりをつくって数える活動などを通して，十進位取り記数 --4/162-- -65- 法としての数の表し方を理解する。第１学年では，十を単位として数の大きさをみる ことができるようにする。 ここでの十を単位とした数の見方とは， 「40は10の４個分である」というように数 の中に10のまとまりを見付けたり， 「10が６個で60になる」というように10の何個分 かで何十になるとみたりするような数の見方である。 このような十を単位とした数の見方について指導することで，数の構成について理 解を深めたり，十を単位としてみられる数の加法及び減法の計算の仕方へとつなげた りする。 〔算数的活動〕(1)ア 具体物をまとめて数えたり等分したりし，それを整理して表す活動 この活動は，数を数える能力を身に付けるとともに数の十進位取り記数法の素地的 な見方について理解したり，数についての感覚を豊かにしたりすることをねらいとす る。 具体物をまとめて数えることについては，２ずつ，５ずつ，10ずつなど，幾つかず つにまとめて数える活動，また数えた具体物が幾つあるのかを整理して図に表す活動 などを指導する。特に10ずつのまとまりを作って数える活動は，十進位取り記数法の 理解のための素地的な学習となる。この活動では，既に幾つかずつにまとめられた具 体物を数えるのでなく，自分で適当な大きさのまとまりを作って数えたものを整理し て表すことが大切である。また，机の上に置かれたものを数えるだけでなく，教室の 内外にあるものを数えるような活動を取り入れることが考えられる。 具体物を等分することについては，全体を同じ数ずつ幾つかに分けたり，全体を幾 つかに同じ数ずつ分けたりする活動を扱う。例えば，８本の鉛筆を，２本ずつや４本 ずつなど，同じ数ずつ分けると何人に分けられるかを操作や図で説明したり，分けら れた結果を式に整理して表したりする。このような活動を通して，８という一つの数 を多面的にみることができるようにし，数についての感覚を豊かにする。 ○○ ○○ ○○ ○○ ○○○○ ○○○○ ２＋２＋２＋２ ４＋４ --5/162-- -66- Ａ（2）加法，減法 (2) 加法及び減法の意味について理解し，それらを用いることができるように する。 ア 加法及び減法が用いられる場合について知ること。 イ １位数と１位数との加法及びその逆の減法の計算の仕方を考え，それら の計算が確実にできること。 ウ 簡単な場合について，２位数などの加法及び減法の計算の仕方を考える こと。 〔算数的活動〕( 1 ) イ 計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いたり，言葉，数，式，図を用い たりして表す活動 〔用語・記号〕 ＋ − ＝ 具体的な事柄について加法や減法が用いられる場合や，加法や減法の意味について 理解する。また，１位数と１位数の加法の計算とその逆の減法の計算について，計算 の意味を理解し，その計算の仕方を考えて説明ができるようにし，計算が確実にでき るようにするとともに生活や学習の中で活用できることをねらいとしている。 さらに， 簡単な場合についての２位数などの加法や減法の計算について，計算の仕方を考え， 説明できることもねらいとしている。 計算についてのこの一連の「計算の意味を理解すること」 ， 「計算の仕方を考える こと」 ， 「計算に習熟し活用すること」の活動は，どの学年でも行われることが重要 である。 --6/162-- -67- ア 加法，減法が用いられる場合とその意味 加法や減法が用いられる場合として，次のようなものをあげることができる。 @ 加法が用いられる場合 (ア) はじめにある数量に，追加したり，それから増加したりしたときの大きさ を求める場合（増加） (イ) 同時に存在する二つの数量を合わせた大きさを求める場合（合併） (ウ) ある番号や順番から，さらに何番か後の番号や順番を求める場合（順序数 を含む加法） A 減法が用いられる場合 (ア) はじめにある数量の大きさから，取り去ったり減少したりしたときの残り の大きさを求める場合（求残） (イ) 二つの数量の差を求める場合（求差） (ウ) ある順番から，幾つか前の順番を求める場合や，二つの順番の違いを求め る場合（順序数を含む減法） これらの指導に当たっては，具体的な場面について，児童がどの場合にも同じ加法 や減法が適用される場として判断することができるようにすることが大切である。こ のように，加法や減法の用いられる場合を次第に一般化して，加法や減法の意味を具 体的にとらえることができるようにすることを重視する。そして，加法は二つの集合 を合わせた集合の要素の個数を求める演算であり，減法は一つの集合を二つの集合に 分けたときの一方の集合の要素の個数を求める演算であることについて，具体物を用 いた活動などを通して理解できるようにすることが大切である。 イ １位数の加法とその逆の減法の計算 １位数と１位数の加法とその逆の減法については，和が10以下の加法及びその逆の 減法と，和が10より大きい数になる加法及びその逆の減法に分けて考える。 前者の計算については，具体物を用いた活動などを通して理解する。後者の計算に ついては，具体物を用いた活動などを通して「10とあと幾つ」と考えることによって 筋道を立てて計算の仕方を説明することができるようにする。いずれの場合もその後 の加法や減法の計算の基礎となる重要な内容である。その指導に当たっては，具体物 --7/162-- --7/162-- -68- を用いた活動などを通して計算の意味を理解し，計算の仕方を考え，計算に習熟し活 用することが大切である。 特に，減法の場合には様々な計算の仕方が考えられる。その主なものとしては，減 加法と減々法がある。例えば12−7の場合，減加法では（10−7)＋2のように10から７ を引いて，残り２を加える。減々法は， （12−2)−5のように順々に引いていく方法 である。ブロックなどを操作する活動を取り入れるならば，10のまとまりから取って いく方法と，端数から取っていく方法の違いになる。どちらを主にして指導するかは， 数の大きさに従い柔軟に対応できるようにすることを原則とするが，児童の実態に合 わせて指導することが大切である。 ウ 簡単な場合の２位数などの加法，減法 １位数と１位数との加法及び減法やこれまでの数の学習などを基に，簡単な場合に ついて，２位数などの加法及び減法の計算の仕方を考える。 簡単な場合とは，次のようなものである。 @ 十を単位としてみられる数の加法，減法 ここでの十を単位としてみられる数の加法及び減法とは，例えば，20＋40や 70−30である。これらの計算は，十を単位とした数の見方に関連させると，それ ぞれ，２＋４，７−３を基にして考えることができる。 なお，和が100を超えるような計算は第２学年で扱う。 A 繰り上がりや繰り下がりのない２位数と１位数との加法，減法 ここでの２位数と１位数との加法及び減法とは，例えば，13＋4や20＋5のよう な繰り上がりのない加法，15−2や38−8のような繰り下がりのない減法である。 このような簡単な場合について，２位数を含む加法及び減法を指導することで，１ 位数までの計算の理解を確実にしていくだけでなく，２位数までの数の理解もより確 実にしていくようにする。また，このような計算の仕方を理解することは，第２学年 で取り扱う２位数についての加法及びその逆の減法の計算の仕方を考える際に有効に 働くことになる。 --8/162-- -69- 〔算数的活動〕 （1)イ 計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いたり，言葉，数，式，図を用いたりして 表す活動 この活動は，具体的な場面に基づいて計算の意味を理解し，児童が自らこれまでに 学習してきた計算の仕方などを活用して新しい計算の仕方を考え，表現することをね らいとする。 例えば， 「太郎さんはどんぐりを８個拾ってきました。花子さんはどんぐりを７個 拾ってきました。合わせて何個でしょう。 」のような問題を通して，計算の意味や繰 り上がりのある加法の計算の仕方について考える。 この問題の意味から，同時に存在する二つの数量を合わせた大きさを求める場合に なると判断し，８＋７というように加法の式に表すことができる。また，この場合の 計算の意味に基づいて，次のような計算の仕方などを考えることができる。 @ 花子さんの拾った７個のどんぐりを分けて考える場合 太郎 花子 ○○○○○○○○ ○○ ○○○○○ ⇒ ○○○○○○○○○○ と ○○○○○ ７を２と５に分ける。８に２をたして 10。この10と５で 15になる。 A 太郎さんの拾った８個のどんぐりを分けて考える場合 太郎 花子 ○○○○○ ○○○ ○○○○○○○ ⇒ ○○○○○ と ○○○○○○○○○○ ８を５と３に分ける。３と７をたして 10。この10と５で 15になる。 このように，加数の７を分けて（８＋２)＋５と考えたり，被加数の８を分けて ５＋(３＋７）と考えたりして，いずれの場合にも10をつくっていることに着目させ ていくことで，児童が自ら「10とあと幾つ」と考える繰り上がりのある加法の計算の 仕方をつくりだすことができる。 --9/162-- -70- 〔Ｂ 量と測定〕 Ｂ(1) 量と測定についての理解の基礎 ( 1) 大きさを比較するなどの活動を通して，量とその測定についての理解の基礎 となる経験を豊かにする。 ア 長さ，面積，体積を直接比べること。 イ 身の回りにあるものの大きさを単位として，その幾つ分かで大きさを比べ ること。 〔算数的活動〕(1) ウ 身の回りにあるものの長さ，面積，体積を直接比べたり，他のものを用い て比べたりする活動 第１学年では， 日常で用いられている量の単位を用いて測定する前の段階において， 長さや面積や体積という量の意味や測るということの意味を理解する上での基礎とな る経験をさせることをねらいとしている。 低学年においては，大きさを比較する学習活動の中で，面積を「広さ」と呼んだり， 体積を「嵩（かさ） 」と呼んだりすることも考えられる。 量の単位や測定の意味を指導する上で大切なことは，まず，直接あるいは間接的に 大きさを比べたりする活動を通して， その量についての理解を深めていくことである。 さらに，測定する際に，何か基準になるものを決めて，それが幾つ分あるかによって， その大きさが決まることを理解できるようにすることである。なお，このような活動 を通して，一つの量が，全体の量の大きさを変えないで二つ以上に分けられることや， 分けた量を合わせてもとの大きさにもどすことができるということについても理解で きるようにしていく。 ア 量の大きさの直接比較 量の大きさを比較する際，ものを移動して，直接重ね合わせることで比べることが --10/162-- -71- できる場合がある。長さの比較について，例えば，２本の鉛筆の長さを比べるといっ た移動のできる物を比較する場合には，これらを動かして，並べて置いたり重ねたり して比較する。この場合は，基準をそろえるという考えで，一方の端をきちんとそろ え，反対側の端で，その大小を判定する。面積の比較についても，重ねて比べられる 場合は，重ねることによって一方が他方に完全に含まれるならば，比べることができ る。体積は，長さや面積に比べてとらえにくい場合がある。しかし，例えば，大きな 箱の中に小さな箱を入れることができれば，二つの箱の体積を直接に比べることがで きる。 イ 任意単位を用いた大きさの比較 量の大きさを比較する際，ものを移動して，直接重ね合わせることが難しい場合が ある。その場合，媒介物を通して比較する。長さの比較について，例えば，机の縦と 横の長さを比べるといった比較しようとするものが移動できない場合は，別に棒やひ もを用意して，この棒やひもを用いて長さを写し取ることにより，初めの考えに基づ いて大小を判定する。適当な大きさの媒介物がない場合については，例えば，新しい 鉛筆や消しゴムといった適当な基準となるものの長さを単位として，これが今比較し ようとしているそれぞれのものの長さの中に幾つ分ずつあるかを調べ，これを数で表 せば比較することができるようになる。 面積については，重ねることができない場合には，例えば，それぞれの上に同じ大 きさの色板を並べ，色板が幾つあるかを数えることで比べることができる。このとき， 面積の意味について，色板を並べたり，方眼を塗りつぶしたりといった活動を通して 意識させていくことが大切である。また，体積については，一方の容器に入れた水を 他方の容器に移して比べたり，二つの容器いっぱいに入れた水を第三の容器に移して --11/162-- -72- 比べたり，コップや茶わんで何杯分あるかを調べ，比べたりする。 このように，身の回りにあるものの大きさを単位として数値化することにより，大 きさのちがいを明確に表して比べることができるようになる。 〔算数的活動〕(1)ウ 身の回りにあるものの長さ，面積，体積を直接比べたり，他のものを用いて比べた りする活動 この活動は，面積，体積の単位と測定の考えを，日常生活の中で活用できるように することをねらいとしている。 ここでは，実際に，学校や家庭にあるものの長さや面積，体積を比べたりといった 活動を行う。例えば，レジャーシートの面積を比べる場合，２枚のレジャーシートを 直接重ねて比べたりする（直接比較） 。水筒に入る水の体積を比べる場合，それぞれ の水筒いっぱいに入れた水を，水槽に移して比べたりする（間接比較） 。また，机の 縦の長さと横の長さを比べる場合，それぞれが同じ大きさの消しゴム幾つ分あるかで 表したりする（任意単位による測定） 。 このように，様々な場面で，比較や測定を行うことを通して，長さが長いとは，面 積が広いとは，体積が大きいとはといったそれぞれの量の意味やその測定の仕方につ いての理解をより確かなものとしたり，量の大きさについての感覚を豊かにしたりす る。 Ｂ(2) 時刻の読み方 ( 2) 日常生活の中で時刻を読むことができるようにする。 児童の日常生活の中で，時刻を読むことは，比較的早くから必要になる。第１学年 では，長針，短針をもつ時計を見て，時刻（時，分）を読むことができるようにする。 また，児童の日常生活での活動などと時刻とを関連させることにより，日ごろから時 刻に関心をもてるようにすることが大切である。 --12/162-- -73- 〔Ｃ 図 形〕 Ｃ(1) 図形についての理解の基礎 ( 1) 身の回りにあるものの形についての観察や構成などの活動を通して，図形に ついての理解の基礎となる経験を豊かにする。 ア ものの形を認めたり，形の特徴をとらえたりすること。 イ 前後，左右，上下など方向や位置に関する言葉を正しく用いて，ものの位 置を言い表すこと。 〔算数的活動〕( 1 ) エ 身の回りから，いろいろな形を見付けたり，具体物を用いて形を作ったり 分解したりする活動 第１学年は，立体図形や平面図形についての基礎となる経験を豊かにすることをね らいとしている。 児童は就学以前から，積み木や箱などを積んだり，並べたりすることや，折り紙を 折ったり，重ね合わせたり，比べたりするなどの活動を遊びや普段の生活の中で経験 してきている。これらの経験を生かしながら，身の回りにあるものの形を観察や構成 の対象とし，身の回りからそれらを見付けたり，実際に手に取ったり，形作りをした りするなどの活動が大切である。これらの活動を通して，次第に，ものの色，大きさ， 位置や材質に関係なく，形を認め，形の特徴についてとらえることができるようにす る。 形を観察したり構成したりする活動を重視するとともに，それらの構成や分解の様 子を，言葉を使って表すことも指導する。 ア 形とその特徴のとらえ方 「ものの形を認める」というのは，児童の身の回りにあるタイルや敷石の敷き詰め などの具体物の中から，形のみに着目して， 「さんかく」 ， 「しかく」 ， 「まる」などの --13/162-- -74- 形を見付けることができることである。また，箱の形，筒の形，ボールの形などの身 の回りにある立体については，立体を構成している面の形に着目して， 「さんかく」 ， 「しかく」 ， 「まる」などの形を見付けることができることである。 「形の特徴をとらえる」というのは， 「さんかく」や「しかく」は「まる」と比べ てかどがある， 「さんかく」のかどは三つある， 「さんかく」と「しかく」を比べる とかどの個数が異なるといった形状の特徴をとらえることができることである。 また， 箱の形は平らなところがあるが，ボールの形は平らなところがないといった立体の形 状をとらえることや，筒の形は置き方によって，転がりやすくなったり，重ねて積み 上げることができたりする形であること，また，ボールの形は転がりやすい形である こと，箱の形は，重ねて積み上げることができる形であることなどの立体の機能的な 側面についても指導する。 ものの形を認めさせたり，形の特徴をとらえさせたりするためには，積み木や箱な どの立体を用いて身の回りにある具体物の形を作ったり，作った形から逆に具体物を 想像したりするなどの活動をさせることが大切である。また，形を示してそれと似て いる具体物を集めたり，身の回りで形がどんなところに見られるか，どんな特徴があ るかということに着目させる。また，箱の観察をしたり，その面を紙に写し取る活動 や，写し取った形と同じ形が身の回りのどこにあるかを見いだす活動も大切である。 これらの活動を取り入れ，次第に図形の特徴や性質を見いだしていく過程を重視し て，児童の立体図形や平面図形の理解の基礎となる経験を豊かにする。 イ 方向や位置 方向や位置について，児童が日常生活の中でどのように表現しているかをとらえ， 整理しながら，分かりやすく並んでいるものの位置に関して，前後，左右，上下など の言葉を正しく用いて，ものの位置を言い表すことができるようにする。 例えば，教室の中の二つのものの位置関係を表すために， 「壁に掛かっている時計 は時間割の上にある」や「自分から見て，黒板の左にテレビがある」というように表 すことができるようにする。この学習では，実際に児童が一列に並ぶ体験や具体物を 並べる活動を取り入れることで，方向や位置を実感的にとらえられるようにする。 --14/162-- -75- 〔算数的活動〕(1)エ 身の回りから，いろいろな形を見付けたり，具体物を用いて形を作ったり分解した りする活動 この活動は，ものの形への興味や関心を高めたり，これからの図形学習のための素 地的な体験を重ねたりすることをねらいとしている。 身の回りにある具体物，例えば，箱や茶筒や積み木の面を観 察し，箱から「しかく」 ，茶筒から「まる」 ，積み木から「さん かく」の形を見付ける活動を行う。また，それらの形を写し取 り，それを切り抜いて形を作ることができる。 作った形や色板を並べることで，右図のようなロケットや家 の形などを作る活動を行うことができる。 棒などを使って並べることで，四角形や三角形などを作ることができる。 折り紙を半分に切って， 「さんかく」を作ることができる。また， 「さんかく」を 二つ組み合わせることで， 「しかく」を作ることができる。 このような活動は，図形についての基礎となる経験を豊かにするとともに，図形に ついて親しみをもたせたり，生活と関連させたりして，図形についての感覚を豊かに していくものである。また，机の上で色板を並べて形を作る中で，色板をずらしたり， 回したり，裏返したりするなどの活動を取り入れることも考えられる。 〔Ｄ 数量関係〕 Ｄ(1) 加法，減法の式 (1) 加法及び減法が用いられる場面を式に表したり，式を読み取ったりすること ができるようにする。 〔算数的活動〕( 1 ) オ 数量についての具体的な場面を式に表したり，式を具体的な場面に結び付 --15/162-- -76- けたりする活動 〔用語・記号〕 ＋ − ＝ 加法及び減法が用いられる具体的な場面を，＋や−の記号を用いた式に表したり， それらの式を具体的な場面に即して読み取ったり，式を読み取って図や具体物を用い て表したりすることを重視する必要がある。 式は，場面の様子を表現したり，答えを求める過程を表現したりするものとしてと らえられ，算数固有の表現として重要なものである。 式を読み取るとは，式からそれに対応する具体的な場面や数量の関係をとらえるこ とである。そこから，言葉や図や具体物を用いて表すことができるようになる。 具体的な場面と対応させて表すという形での読み取る活動については，５＋３＝８ の式を基に，例えば， 「砂場で５人の子どもが遊んでいます。そこへ３人の子どもが きました。子どもは全部で８人になりました。 」というようなお話づくりをするとい う活動がある。また，５＋３の式から，例えば， 「砂場で５人の子どもが遊んでいま す。そこへ３人の子どもがきました。子どもは全部で何人になりましたか。 」という ような問題をつくるという活動がある。このように，式について言葉や図や具体物を 用いて具体的な場面を作り出す活動がある。 〔算数的活動〕(1)オ 数量についての具体的な場面を式に表したり，式を具体的な場面に結び付けたりす る活動 この活動は，加法及び減法が用いられる具体的な場面を式に表したり，式を具体的 な場面に結び付けたりする活動を通して，加法及び減法の式を読み取ったり，活用し たりできるようにすることをねらいとしている。 加法及び減法の式を，教室や学校の中での具体物や実生活での具体的場面に結び付 ける活動を進めるために，それらの式で表される場面を探して言葉や絵や図を用いて 表したり，実生活で探した数量について式に表したり，また，問題づくりをしたりす --16/162-- -77- ることを指導する。 例えば，あさがおのたねにかかわって，昨日とれた数と今日とれた数を合わせた数 を求めることを，加法の式で表すことができる。また，８−３＝５の式から， 「砂場 で８人の子どもが遊んでいます。３人の子どもが帰りました。子どもは５人になりま した。 」というようなお話をつくることができる。さらに，６−３＋７の式からは， 「りすが６ぴきいます。３びき帰りました。そこへ７ひき遊びに来ました。りすは全 部で何びきになりましたか。 」などの問題をつくり，絵を用いて表すこともできる。 このような指導により，式についての理解を深め，式と具体的な場面とを結び付け る活動を高めていくことは，以降の学年における四則計算についても同様である。 Ｄ(2) 絵や図を用いた数量の表現 (2) ものの個数を絵や図などを用いて表したり読み取ったりすることができるよ うにする。 ものの個数を数えたりするとき，例えば，あひる，ねこ，うさぎ，りすなどのよう に幾つかの種類のものを数えるとき，絵や図などを用いて，下のように表すことがで きるようにする。 また，このように表したものから，数が最も多いところや少ないところなどの特徴 を読み取ることができるようにする。 --17/162-- --17/162-- -78- 〔算数的活動〕 ( 1) 内容の「Ａ数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ， 「Ｃ図形」及び「Ｄ数量関係」に示 す事項については，例えば，次のような算数的活動を通して指導するものとす る。 ア 具体物をまとめて数えたり等分したりし，それを整理して表す活動 イ 計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いたり，言葉，数，式，図を用い たりして表す活動 ウ 身の回りにあるものの長さ，面積，体積を直接比べたり，他のものを用い て比べたりする活動 エ 身の回りから，いろいろな形を見付けたり，具体物を用いて形を作ったり 分解したりする活動 オ 数量についての具体的な場面を式に表したり，式を具体的な場面に結び付 けたりする活動 〔用語・記号〕 一の位 十の位 ＋ − ＝ --18/162-- -79- ２ 第２学年の内容 〔Ａ 数と計算 〕 Ａ(1) 数の意味や表し方 (1) 数の意味や表し方について理解し，数を用いる能力を伸ばす。 ア 同じ大きさの集まりにまとめて数えたり，分類して数えたりすること。 イ ４位数までについて，十進位取り記数法による数の表し方及び数の大小 や順序について理解すること。 ウ 数を十や百を単位としてみるなど，数の相対的な大きさについて理解す ること。 エ 一つの数をほかの数の積としてみるなど，ほかの数と関係付けてみるこ と。 オ ， など簡単な分数について知ること。 〔算数的活動〕( 1 ) ア 身の回りから，整数が使われている場面を見付ける活動 〔用語・記号〕 ＞ ＜ (内容の取扱い) (1) 内容の「Ａ数と計算」の(1)については，１万についても取り扱うものとす る。 １ ２ １ ４ --19/162-- -80- 第２学年では数の範囲を広げて，４位数までの数の読み方，表し方，大小，順序な どについて理解できるようにする。また，ものの個数や順番を表すことについて理解 を深めるとともに，数の相対的な見方や一つの数をほかの数の積としてみる見方がで きるようにするなど，数についての感覚をより豊かにすることもねらいとしている。 さらに，紙を折るなどの活動を通して簡単な分数についても理解する。 ア まとめて数えたり，分類して数えたりすること 必要に応じてものの個数を２ずつ，５ずつ，10ずつまとめて数えたり，ものの色， 形，位置，種類などに着目して分類して数えたりすることは，第１学年に引き続いて 用いる考え方である。 また，２ずつ，５ずつなどのように適当な大きさずつにまとめて数える活動は乗法 の意味の理解につながるものである。さらに，多くのものの個数を数えるときに，10 ずつのまとまりを作り，それをさらに10ずつのまとまりにして数えていく考えは，十 進位取り記数法に発展していく内容である。 イ 十進位取り記数法 第１学年では120程度までの数を指導している。第２学年では，数の範囲を４位数 までに広げ，これは十進位取り記数法による数の表し方及び数の大小，順序などにつ いて知り，数についての理解を深めるようにする。３位数から４位数へと徐々に数の 範囲を広げて理解を深めるようにする。 十進位取り記数法は，それぞれの位を単位とする数が10になると次の位に進み，10 に満たない端数がそれぞれの位の数字として表されることと，位置によってその単位 の大きさを表す数が示されるということから成り立っている。位ごとに異なる記号を 用いるのではないところにその特徴がある。 また，数の読み方との比較によって，記数法の特徴を理解することができる。例え ば，8235を読むときには，すべての位を言うことになる。8000を読むときには，必要 な位だけを言えばよいが，書くときには０を各位に記入しておかなければならない。 ここで，数の大小を調べることに関連して，数の大小関係を不等号「＞」 ， 「＜」 を用いて簡潔に表現できることを指導する。なお不等号という用語を指導するのは第 ３学年である。 --20/162-- -81- 「内容の取扱い」の(1)では， 「１万についても取り扱うものとする」と示してい る。9999の次の数などとして１万について取り扱うことで，第３学年で指導する１万 を超える数へと連続性や発展性をもって接続できるよう配慮することが大切である。 ウ 数の相対的な大きさ 「数の相対的な大きさについての理解」とは，十，百などを単位として，数の大き さをとらえることである。例えば，6000を「10が600個集まった数」とみたり「100が 60個集まった数」であるとみたりすることである。数の相対的な大きさをとらえるこ とによって，数の仕組みについての理解を深めるとともに，数についての感覚を豊か にすることをねらいとしている。その際には，形式的な指導でなく，具体物を用いた 活動を通して， 数の相対的な大きさについて理解できるようにすることが大切である。 エ 一つの数をほかの数の積としてみること ものの集まりを幾つかずつまとめて数える活動を通して，数の乗法的な構成につい ての理解を図ることをねらいとしている。ある部分の大きさを基にして，その幾つ分 として，全体の大きさをとらえることができるようにする。 例えば， 「12個のおはじきを工夫して並べる」という活動を行うと，いろいろな並 べ方ができる。下の図のように並べると，2×6，6×2，3×4，4×3などのような式で 表すことができる。このように，一つの数をほかの数の積としてみることができるよ うにし，数についての理解を深めるとともに，数についての感覚を豊かにする。 オ 簡単な分数 １，２，３，４，･･･ などの数を用いると，ものの個数などを表すことができるが， ものを半分にした大きさは表すことができない。しかし，分数を用いると，半分にし た大きさを表すことができるようになる。 折り紙やロープなどの具体物を半分にすると，元の大きさの の大きさができる。 １ ２ ●●●●●● ●●●●●● 2×6 または 6×2 ●●●● ●●●● ●●●● 3×4 または 4×3 --21/162-- -82- は「二分の一」と読む。これは，二つに等分した大きさの一つ分という意味であ る。 具体物を用いて の大きさを作り，それらをさらに半分にすると，元の大きさの の大きさができる。これは，四つに等分した大きさの一つ分という意味である。 このような活動をさらに続けると，元の大きさの の大きさができる。 このようにして具体物を用いて ， などの大きさを作ることや， ， など の数を分数と呼ぶことを指導する。分数の意味や表し方については，第３学年から本 格的に指導するが，第２学年では，分数について理解する上で基盤となる素地的な学 習活動を行い，分数の意味を実感的に理解できるようにするのがねらいである。 〔算数的活動〕 （1)ア 身の回りから，整数が使われている場面を見付ける活動 この活動は，児童が身の回りで使われている整数を見付け出すことで，整数につい ての理解を深めるとともに，整数を学ぶ意義を児童が自ら実感することをねらいとす る。 児童は日常の生活の中からたくさんの整数を見付け出すことができる。例えば，カ レンダー，物の値段，時間などの数や数量を表すために用いられている数がある。一 方，自動車のナンバーや部屋の番号など，物事を分類整理するために用いられている 数などもある。 このように整数が用いられている場面を身の回りから見付け出して観察したり，紹 介し合ったりなどし，整数が身の回りで広く活用されていることを理解できるように することが大切である。 Ａ（2）加法，減法 １ ２ １ ４ １ ２ １ ２ １ ４ １ ８ １ ２ １ ４ --22/162-- -83- (2) 加法及び減法についての理解を深め，それらを用いる能力を伸ばす。 ア ２位数の加法及びその逆の減法の計算の仕方を考え，それらの計算が１ 位数などについての基本的な計算を基にしてできることを理解し，それら の計算が確実にできること。また，それらの筆算の仕方について理解する こと。 イ 簡単な場合について，３位数などの加法及び減法の計算の仕方を考える こと。 ウ 加法及び減法に関して成り立つ性質を調べ，それを計算の仕方を考えた り計算の確かめをしたりすることに生かすこと。 (内容の取扱い) (2) 内容の「Ａ数と計算」の(2)及び「Ｄ数量関係」の(1)については，必要な場 合には，( )や□などを用いることができる。 (3) 内容の「Ａ数と計算」の(2)のウについては，交換法則や結合法則を取り扱 うものとする。 第２学年では第１学年の内容を受けて，２位数の加法や減法が用いられる場合につ いての理解を深めるとともに， 加法及びその逆の減法の計算の仕方を児童が自ら考え， 筆算の形式が分かるようにし，これを用いることができるようにすることがねらいで ある。 また，簡単な場合についての３位数などの加法及び減法の計算について，計算の仕 方を考え，説明できることもねらいとしている。 ア ２位数の加法とその逆の減法 第２学年では，初めに２位数の加法及びその逆の減法の計算を指導する。その際に は，第１学年で指導した１位数と１位数との加法とその逆の減法及び簡単な場合の２ 位数の加法と減法を基にして，その計算の仕方を考え出せるように指導する。 例えば，28＋57のような計算であれば，まず具体的な場面に基づいて計算の意味を --23/162-- -84- 理解する。次に，これまでに学習してきた計算の仕方などを活用し，一の位どうしを 加えた8＋7＝15と，10のまとまりを加えた20＋50＝70とを得る。さらに，それらから 85を得るというような計算の仕方を考える。このことをそのまま筆算として反映する ならば，図の左のような形式化されていない状態のものが生まれてくることもある。 繰り上がりの考え方が明確になったとき，通常行われている筆算を理解することがで きるようになっていく。 ２８ ２８ ＋５７ ＋５７ １５ ・・・8 ＋7↑８５ ＋７０・・・20＋50 ８５ このように各位の計算を，位をそろえて形式的に処理しやすくしたものが筆算形式 である。なお，この計算方法は十進位取り記数法に基づく計算であり，以降の乗法や 除法の計算の原理にもなる。 減法についても同様に，具体的な場面に基づいて計算の意味や計算の仕方を考えさ せ，筆算を指導する。 なお，計算の仕方を考えたり計算の確かめをしたりするときなどに，計算の結果が およそどのくらいの大きさになるのか，何桁の数になるのかを見積もることは，以降 の計算指導においても大切である。 イ 簡単な場合の３位数などの加法，減法 ２位数までの加法及びその逆の減法やこれまでの数の学習を基にして，簡単な場合 について，３位数などの加法及び減法の計算の仕方を考える。 簡単な場合とは，次のようなものである。 @ 百を単位としてみられる数の加法，減法 ここでの百を単位としてみられる数の加法及び減法とは，例えば，800＋700， 500−100などの計算である。これらの計算は，百を単位とした数の見方に関連さ せると，それぞれ，８＋７，５−１を基にして考えられる。 A ３位数と２位数などの加法及び減法 --24/162-- -85- ここでの加法とは，百の位への繰り上がりがないもので，例えば，628＋7， 234＋57などである。また，減法とは，百の位からの繰り下がりがないもので， 例えば，753−6，683-51，546−27などである。 このような簡単な場合の３位数までの加法及び減法を指導することで，２位数まで の計算の理解を確実にしていくだけでなく，３位数までの数の理解もより確実なもの にしていくようにする。また，このような計算の仕方を理解することを，第３学年で 取り扱う３位数や４位数についての加法及び減法の計算の仕方を考えることにつなげ るようにする。 ウ 加法，減法について成り立つ性質 幾つかの数をまとめたり，順序を変えて計算したりする場合がある。例えば， 25＋19＋1の計算をするとき，計算を能率的にするために25＋(19＋1）と考えること がある。また，16＋8の結果と8＋16の結果とを比べることで，計算の確かめをするこ とができる。このようなことを通して次第に計算に関して成り立つ性質に着目できる ようにする。 ここで扱う性質としては，第２学年の「内容の取扱い」の(3)で「ウについては， 交換法則や結合法則を取り扱うものとする」と示しているように，加法に関して成り 立つ交換法則や結合法則を指導する。そのほかにも加法と減法の相互関係を考えて， 加法の確かめに減法を用いたり減法の確かめに加法を用いたりできるようにすること なども考えられる。計算の確かめについては，計算の結果及びその手順の両面につい て行うことに配慮する必要がある。それは，計算に関して成り立つ性質が，覚えるも のではなく，活用するものであることを重視するためである。なお，計算法則そのも のを一般的に調べていくのは，第４学年の内容である。 「内容の取扱い」の(2)では， 「必要な場合には，( )や□などを用いることがで きる」と示されている。これは，加法及び減法についての理解を深める指導において， 児童が工夫して取り組むことができるようにするためのものである。 --25/162-- -86- Ａ（3）乗法 (3) 乗法の意味について理解し，それを用いることができるようにする。 ア 乗法が用いられる場合について知ること。 イ 乗法に関して成り立つ簡単な性質を調べ，それを乗法九九を構成したり計 算の確かめをしたりすることに生かすこと。 ウ 乗法九九について知り，１位数と１位数との乗法の計算が確実にできるこ と。 エ 簡単な場合について， ２位数と１位数との乗法の計算の仕方を考えること。 〔算数的活動〕( 1 ) イ 乗法九九の表を構成したり観察したりして，計算の性質やきまりを見付け る活動 〔用語・記号〕 × (内容の取扱い) (4) 内容の「Ａ数と計算」の(3)のイについては，乗数が１ずつ増えるときの積 の増え方や交換法則を取り扱うものとする。 第２学年では，乗法が用いられる実際の場面を通して，乗法の意味について理解で きるようにする。また，この意味に基づいて乗法九九を構成したり，その過程で乗法 九九について成り立つ性質に着目したりするなどして，乗法九九を身に付け，１位数 と１位数との乗法の計算が確実にできるようにしたり，生活や学習の中で活用できる ようにしたりすることをねらいとしている。 --26/162-- -87- さらに，簡単な場合の２位数と１位数との乗法についても，乗法に関して成り立つ 簡単な性質などに基づいて計算の仕方を考え，説明できることをねらいとしている。 ア 乗法が用いられる場合とその意味 乗法は，一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かに当たる大きさを求 める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回も加える加法，すなわち累加の簡潔な 表現として乗法による表現が用いられることになる。また，累加としての乗法の意味 は，幾つ分といったのを何倍とみて，一つの大きさの何倍かに当たる大きさを求める ことであるといえる。 この乗法九九には，単に表現として簡潔性があるばかりでなく，我が国で古くから 伝統的に受け継がれている乗法九九の唱え方を記憶することによって，その結果を容 易に求めることができるという特徴がある。 イ 乗法に関して成り立つ性質 「内容の取扱い」の(4)で「イについては，乗数が１ずつ増えるときの積の増え方 や交換法則を取り扱うものとする」と示されているように，ここでは，乗法に関して 乗数が１増えれば積は被乗数分だけ増えるという性質や，乗法についての交換法則に ついて児童が自ら調べるように指導する。 乗法九九を構成するときに乗数が１増えれば積は被乗数分だけ増えること，乗法に ついての交換法則などを活用し，効率よく乗法九九などを構成したり，計算の確かめ をしたりすることも大切である。 ウ 乗法九九 乗法九九については，児童が自ら乗法九九を構成したり，数の並び方のきまりを発 見したりしながら身に付けていくことが大切である。 乗法九九は，以後の学年で取り扱う乗法や除法の計算の基盤となるものとして必要 なものである。したがって，乗法九九を構成したり理解したりする際には，体験的な 活動や身近な生活体験などと結び付けるなどして指導の方法を工夫することが重要で ある。また，どの段の乗法九九についても十分に習熟し，確実に計算することができ るようにするとともに，それらを生活や学習に活用することが大切である。乗法九九 を生活や学習の場面で活用することによっても，技能の習熟が図られる。 --27/162-- --27/162-- -88- エ 簡単な場合の２位数と１位数との乗法 簡単な場合についての２位数と１位数との乗法として，12程度までの２位数と１位 数との乗法を指導する。その計算の仕方については，乗法九九を基にして，乗数が１ 増えれば積は被乗数分だけ増えるという性質を用いるなどして説明することができ る。 ４に２位数をかける乗法の計算を例にあげると，まず，４の段の乗法九九の 4×9＝36 から，4×10＝40（36より４だけ増える）となることが分かる。さらに， 4×11＝44（40より４だけ増える） ，4×12＝48（44より４だけ増える）のようにして 積を求めることができる。 また，10×4 は，10 が４つあることから，40になると分かる。さらに，11×4＝44， 12×4＝48 となることは，乗法に関して成り立つ性質を基にしたり，図を用いたりし て説明することができる。 このような簡単な場合の２位数と１位数との乗法の計算の仕方を考えることは，第 ３学年において，２位数や３位数などの乗法の計算の仕方を考える上での素地的な学 習となるものである。 〔算数的活動〕 （1)イ 乗法九九の表を構成したり観察したりして，計算の性質やきまりを見付ける活動 この活動は，乗法九九の表を構成したり観察したりすることを通して，計算の性質 やきまりを理解することをねらいとする。 例えば，児童が３の段の乗法九九の構成を通して「かける数が１増えれば答えは３ ずつ増える」ということを見付けることがある。このことについて，ほかの段の乗法 九九でも同様なことが言えるのかを，乗法九九の表を構成したり，完成した乗法九九 の表を観察したりして調べ，帰納的に考えて「乗数が１増えれば積は被乗数分だけ増 える」という計算の性質を見付けることができる。また，児童が乗法九九の構成を通 して「３×４」と「４×３」の答えが同じ12になることを見付ける場合がある。この ことについても，幾つかの場合から帰納的に考えて「乗数と被乗数を交換しても積は 同じになる」という計算の性質を見付けることができる。 なお，乗法九九の表から児童が見いだすきまりは，例えば，３の段と４の段の和が --28/162-- -89- ７の段になること，１×１，２×２，３×３，…というように同じ数どうしをかける 計算は斜めに並んでいることなど，様々である。乗法九九を構成したり観察したりす ることを通して，乗法九九の様々なきまりを見付けるように指導することは，児童が 発見する楽しさを味わうことにつながるものである。 〔Ｂ 量と測定〕 Ｂ(1) 長さの単位と測定 ( 1) 長さについて単位と測定の意味を理解し，長さの測定ができるようにする。 ア 長さの単位（ミリメートル(o)，センチメートル(p)，メートル(m)）に ついて知ること。 〔算数的活動〕( 1 ) ウ 身の回りにあるものの長さや体積について，およその見当を付けたり，単 位を用いて測定したりする活動 〔用語・記号〕 単位 単位とは，測定のために用いる基になる大きさのことである。また，測定とは，一 定の量を基準として，その量の大きさを数値化することである。 第１学年では，長さについて，具体的な場面でその大きさを比較したりすることか ら，適当な基準の大きさとなる長さを決め，それが幾つ分になるかを調べて数で表す という，測定の基礎となる考えについて指導してきている。 第２学年では，その上に立って，基準の大きさとなる長さとして，身の回りの適当 な長さ（任意単位）ではなく，普遍単位を用いることの必要性に気付かせ，単位の意 味について理解させるとともに，それを用いた測定が正しくできるようにする。 --29/162-- -90- ものの長さを測る場合にものさしなどを用いるが，ものさしの目盛りの仕組みにつ いても理解できるようにする。 ア 長さの単位（mm，cm，ｍ） 長さの単位について，ミリメートル（ mm ） ，センチメートル（ cm ） ，メートル（m ） を指導する。測定する対象の大きさにより，適当な単位が選択できるようになってい ることに気付かせるとともに，端下の処理に関連して，ミリ( m )，センチ( c)などの 接頭語の付いた単位の必要性にも着目させ，単位の意味や役割についての理解をより 確かなものにすることが大切である。 〔算数的活動〕(1)ウ 身の回りにあるものの長さや体積について，およその見当を付けたり，単位を用い て測定したりする活動 この活動は，実際に測定する活動を通して，長さの意味と測定の考えについて実感 的に理解することをねらいとしている。 例えば，身の回りのものの長さを測定する場面で，１ mの長さに近いものを探し， その長さを実際にものさしで測るといった活動を行う。 このような測定の活動を実際に体験することを通して，量の意味や測定の仕方につ いてとらえることができるようにするとともに，長さの普遍単位の大きさをとらえる ことができるように指導する。 Ｂ(2) 体積の単位と測定 (2) 体積について単位と測定の意味を理解し，体積の測定ができるようにする。 ア 体積の単位（ミリリットル( ml )，デシリットル( dl )，リットル( l )）につ いて知ること。 〔算数的活動〕( 1 ) ウ 身の回りにあるものの長さや体積について，およその見当を付けたり，単 位を用いて測定したりする活動 --30/162-- -91- 第２学年では，体積を測る活動を通して，体積についても長さと同様，基準の大き さとなる量として，身の回りの適当な量（任意単位）ではなく，普遍単位を用いるこ との必要性に気付かせ，単位の意味について理解させるとともに，それを用いた測定 が正しくできるようにする。 第１学年では，身の回りの適当な基準の大きさとなるものを用いて体積を測定した が，第２学年では， 「１リットルます」などを用いることを指導する。 ア 体積の単位（ml，dl，ｌ） 体積の単位について，ミリリットル（ ml ） ，デシリットル( dl ） ，リットル（ l ）を指 導する。１デシリットル（ dl ）については，１リットル（ l ）を 10等分した一つ分を 単位としてつくられた単位であることも指導する。なお，１ミリリットル（ ml ）に ついては，１デシリットル（ dl ）の単位では測り取れない大きさを測るとき，その量 を表すことに用いる単位であることや，１ l は1000mlであることを知らせる程度と する。 〔算数的活動〕(1)ウ 身の回りにあるものの長さや体積について，およその見当を付けたり，単位を用い て測定したりする活動 この活動は，実際に測定する活動を通して，体積の意味と測定の考えについて実感 的に理解することをねらいとしている。 例えば，空き瓶とペットボトルに入る水の量を測定する場面で，どれだけの量が入 りそうかを予想し，実際に測るといった活動を行う。 このような測定の活動を実際に体験することを通して，量の意味や測定の仕方につ いてとらえることができるようにするとともに，体積の普遍単位の大きさをとらえる ことができるように指導する。 Ｂ(3) 時間の単位 ( 3) 時間について理解し，それを用いることができるようにする。 ア 日，時，分について知り，それらの関係を理解すること。 --31/162-- -92- 時間は，時刻のある点からある点までの間隔の大きさを表す量である。日常生活の 中では，時刻と時間の区別が明確ではない場合もある。指導に当たっては，時刻と時 間を区別して指導する。 ア 時間の単位（日，時，分） 第２学年では，時間の単位として，日，時，分について指導する。これらの単位を 具体的な場面で適切に用いることができるようにするとともに，１日が 24時間，１ 時間が60分という関係を理解させ，それらを用いることができるようにする。 〔Ｃ 図 形〕 Ｃ(1) 三角形や四角形などの図形 ( 1) ものの形についての観察や構成などの活動を通して，図形を構成する要素に 着目し，図形について理解できるようにする。 ア 三角形，四角形について知ること。 イ 正方形，長方形，直角三角形について知ること。 ウ 箱の形をしたものについて知ること。 〔算数的活動〕( 1 ) エ 正方形，長方形，直角三角形をかいたり，作ったり，それらで平面を敷き 詰めたりする活動 〔用語・記号〕 直線 直角 頂点 辺 面 第２学年では，図形を構成する要素に着目し，三角形，四角形などの図形について 理解できるようにする。平面図形としては，三角形，四角形，正方形，長方形，直角 --32/162-- -93- 三角形について指導する。また，身の回りにある箱の形をしたものを取り上げ，立体 図形について理解する上で基盤となる素地的な学習活動となるように指導する。 ア 三角形，四角形 第１学年で，児童は「さんかく」 ，「しかく」などと呼んで図形をとらえてきた。 第２学年では，３本の直線で囲まれている形を三角形といい，４本の直線で囲まれ ている形を四角形ということを約束する。これは，図形を構成する要素である辺の数 によって，いろいろな図形を，三角形，四角形に分類しているのである。また，三角 形，四角形の頂点にも着目できるようにする。 具体物を用いるなどして，いろいろな形や大きさの三角形，四角形を構成する活動 を取り入れることが大切である。 イ 正方形，長方形と直角三角形 第２学年では，正方形，長方形の意味や性質について指導する。また，正方形や長 方形の特徴を調べるとともに，身の回りから，かどの形が直角であるものを見付けた り，紙を折って直角を作ったりするなどの活動を行い，直角の意味をとらえられるよ うにする。 四つの辺の長さが等しく，四つの角が直角である四角形を正方形という。正方形に は大きさは様々なものがあるが，形はすべて同じである。また， 四つの角が直角である四角形を長方形という。長方形には，縦 と横の長さの組み合わせによって，様々な形がある。 直角三角形は，正方形や長方形を，例えば右の図のように， 二つに分けることによってできる三角形である。 ウ箱の形 第２学年では，身の回りにある箱の形をしたものを指導する。第４学年で指導する 立方体，直方体などの立体図形について理解する上で基盤となる素地的な学習活動と なるように指導する。 具体物の観察などを通して，頂点，辺，面という構成要素に着目できるようにする。 箱の形をした具体物を観察すると，正方形，長方形の形をした面があることに気が付 く。面と面の間に辺があるし，辺が集まったところが頂点である。 --33/162-- -94- また，頂点，辺，面の個数を調べることができるようにする。そのためには，箱の 形をしたものを観察したり，構成したり，分解したりする活動を取り入れるとよい。 例えば，６枚の長方形や正方形を貼り合わせて箱の形を構成したり， 12本のひごを 用いて箱の形を構成したりする。また，紙の箱を集めて，切り開いてみたり，切り開 いた形から箱を組み立てたりして，立体図形は平面図形によって構成されていること に気付くようになる。 〔算数的活動〕(1)エ 正方形，長方形，直角三角形をかいたり，作ったり，それらで平面を敷き詰めたり する活動 この活動は，正方形，長方形，直角三角形を格子状に並んだ点を使ってかいたり， 紙を折って作ったりする活動を通して，構成要素に着目して，正方形，長方形の特徴 を実感的に理解できるようにすることをねらいとしている。具体的には，次のような 例が考えられる。 ・ 右の図のような格子状に並んだ点を結んで，正方形， 長方形，直角三角形をかく活動を通して，図形を構成 する要素をとらえさせること。 ・ 右のようなに長方形の紙を折って正方形を作る活動 に通して，構成要素に着目して説明する力を育ててい くようにすること。 ・ 右のような紙の四か所を直角に折っていって，長方 形を作る活動を通して，構成要素に着目させること。 ・ 直角三角形を正方形や長方形を対角線で二つに分け ることによって作ったり，同じ大きさの 直角三角形で長方形や大きな直角三角形 を作ったりすることができること。 また，身の回りの具体物の中から， 三角形や四角形の形をしたものを取りだしてみる活動も大切である。 --34/162-- -95- さらに，正方形，長方形，直角三角形それぞれで平面を敷き詰める活動を通して， 平面の広がりや，一定のきまりに従って並べることによってできる模様の美しさにつ いて感じることができるようにすることが大切である。 例えば，長方形や直角三角形では，次のような敷き詰めの仕方がある。 長方形の敷き詰め 直角三角形の敷き詰め 〔Ｄ 数量関係〕 Ｄ(1) 加法と減法の相互関係 (1) 加法と減法の相互関係について理解し，式を用いて説明できるようにする。 〔算数的活動〕(1) オ 加法と減法の相互関係を図や式に表し，説明する活動 --35/162-- -96- （内容の取扱い） (2) 内容の「Ａ数と計算」の(2)及び「Ｄ数量関係」の(1)については，必要な場 合には， （ ）や□などを用いることができる。 三つの数量Ａ，Ｂ，Ｃについて，例えば，次の図のような関係にあるとき，ＡとＢ が分かってＣを求める場合が加法で，Ａ＋Ｂ＝ＣやＢ＋Ａ＝Ｃとなる。 Ａ(男の子の人数） Ｂ(女の子の人数） Ｃ(全体の人数） また，ＣとＡ又はＢのいずれか一方が分かっていて，Ｂ又はＡを求める場合が減法 で，Ｃ−Ａ＝ＢやＣ−Ｂ＝Ａとなる。このとき，加法と減法は三つの数量のどれを求 めるかによって，相互に関係付けられている。このような加法と減法の関係を，加法 と減法の相互関係という。 このような加法と減法の相互関係について，次の@，A，Bのような場面を取り上 げて指導する。これらの場面について，児童を教室の前に出させて劇のように演じさ せたり，具体物を並べたり，図や式に表したり，具体物による表現と図や式による表 現とを関連付けたり， 説明したりすることによって，理解を深めていくことができる。 @ 数量の関係表現は減法の形であるが，計算は加法を用いることになる場合 例えば，「はじめにリンゴが幾つかあって，その中から５個食べたら７個残った。 はじめに幾つあったか」を求めるような場合である。図で表せば，次のような場合で， □を７＋５として求める。 ７５ □ A 数量の関係表現は加法の形であるが，計算は減法を用いることになる場合 --36/162-- -97- 例えば， 「はじめにリンゴが幾つかあって，５個もらったら12個になった。は じめに幾つあったか」を求めるような場合である。 B 減法の減数が未知のとき，その減数を求めるのに減法を用いる場合 例えば，「はじめにリンゴが12個あって，幾つか食べたので残りは７個になった。 幾つ食べたか」を求めるような場合である。 これらの場面による問題の解決においては，加法と減法の関係に着目し，それを問 題の把握，演算の決定，確かめに用いることができるようにするとともに，式を用い て説明することができるようにすることが大切である。 式を用いて説明するに当たっては，例えば@の場面であると， 「幾つかあるリンゴ から食べたリンゴの５個を取ると７個残る」ということから，残った７個に取った５ 個を返す（たす）と ７＋５ という式になるというように，式の部分である「７」 ， 「＋」 ， 「５」と場面とを関連付けて説明することが，また，そのことを@で示した ようなテープの図とも関連付けて説明することが，加法と減法の相互関係について理 解し，式を用いる能力を伸ばすために大切である。 なお，このような指導の機会を通して，式が事柄や数量の関係を簡潔に表すもので あるという理解を深めるようにする必要がある。 〔算数的活動〕(1)オ 加法と減法の相互関係を図や式に表し，説明する活動 この活動は，前述の@，A，Bのような加法と減法の相互関係の場面について，特 に@，Aのようないわゆる逆思考になるような問題を取り上げ，その解決の仕方を考 え，図や式に表し，説明できるようにすることを通して，加法と減法の相互関係の理 解を深めることをねらいとしている。 これらの加法と減法の相互関係の場面にかかわる逆思考になるような問題につい て，例えば，Aの「はじめにリンゴが幾つかあって，５個もらったら12個になった。 はじめに幾つあったか」という問題の場合 □ ５ に右のような図を用いたり，また，それら の表現を関連付けて用いたりして考えるこ 12 とが大切である。さらに，例えば，Aの場面であると，合計の 12個からもらった５ --37/162-- --37/162-- --37/162-- -98- 個を返す（ひく）と考えて 12−5 という式になるというように，式の部分である 「12」 ， 「−」 ， 「５」と場面とを関連付けたり，また，それらを図と関連付け，図の 部分部分と対応させて説明することができるようにする。そして，このような活動を 通して，問題解決の方法について考え説明する力を培っていくことが重要である。 図を用いる際には，問題場面にある数量について具体物で表したものを図へと抽象 化し，図についての実感的理解を育みながら， 「思考の道具」そして「説明の道具」 となるように活動の中で用いさせていくことが重要である。また，図を，ほかの表現 である式や言葉の式などとも関連付けて用い，考えたり，読み取ったり，説明したり することができるようにする。 このような指導は，以降の学年において指導する線分図や数直線などの図について も同様であり，図や式についての理解を深め，図や式を用いて表したり，読み取った り，説明したりできるようにすることが大切である。 Ｄ(2) 乗法の式 (2) 乗法が用いられる場面を式に表したり，式を読み取ったりすることができる ようにする。 〔用語・記号〕 × 乗法が用いられる具体的な場面を，×の記号を用いた式に表したり，その式を具体 的な場面に即して読み取ったり，式を読み取って図や具体物を用いて表したりするこ とを重視する必要がある。その際，乗法の式から場面や問題をつくるような活動も， 乗法についての理解を深め，式を用いる能力を伸ばすために大切である。 式に表す指導に際しては， 「１袋に５個ずつ入ったみかんの４袋分」というような 文章による表現，○やテープなどの図を用いた表現，具体物を用いた表現などと関連 付けながら，式の意味の理解を深めるとともに，記号×を用いた式の簡潔さや明瞭さ を味わうことができるようにする。 --38/162-- -99- 式を読み取る指導に際しては，例えば，３×４の式から， 「プリンが３個ずつ入っ たパックが４パックあります。プリンは全部で幾つありますか。 」というような問題 をつくることができる。このように具体的な場面と関連付けるようにすることが，さ らに，読み取ったことを，○や図を用いたり，具体物を用いたりして表現することが， 式を読み取る能力を伸ばすためには大切である。 Ｄ(3) 簡単な表やグラフ (3) 身の回りにある数量を分類整理し，簡単な表やグラフを用いて表したり読み 取ったりすることができるようにする。 身の回りにある数量を分類整理して，それを簡単な表やグラフを用いて表すことが できるようにする。ここで，簡単な表とは，次のような，観点が一つの表のことであ る。 さいている花の数（こ） さいている花の数 へちま かぼちゃ きゅうり なす ４３ ５２ ○ ○○ また，簡単なグラフとは，○などを並 ○ ○ ○ べて大きさを表したグラフのことである。 ○ ○ ○ ○ このような表やグラフから，数が最も多 ○ ○ ○ ○ いなどの特徴を読み取ったりすることが へちま かぼちゃ きゅうり なす できるようにする。この際，決まった形 式の表やグラフをかくことの技能的な面を強調するよりも，特徴を読み取ったりする ことを重視する。分類整理して数えたものを表やグラフを用いて表すことにより，そ れぞれの大きさが比べやすくなり，違いを読み取りやすくなるのである。 〔算数的活動〕 --39/162-- - 100 - ( 1) 内容の「Ａ数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ， 「Ｃ図形」及び「Ｄ数量関係」に示 す事項については，例えば，次のような算数的活動を通して指導するものとす る。 ア 身の回りから，整数が使われている場面を見付ける活動 イ 乗法九九の表を構成したり観察したりして，計算の性質やきまりを見付け る活動 ウ 身の回りにあるものの長さや体積について，およその見当を付けたり，単 位を用いて測定したりする活動 エ 正方形，長方形，直角三角形をかいたり，作ったり，それらで平面を敷き 詰めたりする活動 オ 加法と減法の相互関係を図や式に表し，説明する活動 〔用語・記号〕 単位 直線 直角 頂点 辺 面 × ＞ ＜ --40/162-- - 101 - ３ 第３学年の内容 〔Ａ 数と計算〕 Ａ(1) 数の表し方 (1) 整数の表し方についての理解を深め，数を用いる能力を伸ばす。 ア 万の単位について知ること。 イ10倍，100倍， の大きさの数及びその表し方について知ること。 ウ 数の相対的な大きさについての理解を深めること。 〔用語・記号〕 不等号 数直線 （内容の取扱い） (1) 内容の「Ａ数と計算」の(1)については，１億についても取り扱うものとする。 第３学年では，万の単位などについて指導し，整数の表し方についての理解を深め るようにする。十万や百万などの大きな数を指導する際には，具体的な場面を用意し たり，教具を工夫したりするなどの配慮が必要である。 ア 万の単位 第２学年では，４位数までの整数の十進位取り記数法について指導してきており， その中で１万についても取り扱っている。第３学年では，整数の表し方を万の単位に まで広げて指導する。 万の単位の指導に際しては，１万という数の大きさについて実感的にとらえられる ようにすることが大切である。１万の大きさは， 1000が10個集まった大きさ， 9999 より1 大きい数などのようにとらえることができる。さらに， 5000と5000を合わせ 10 1 --41/162-- - 102 - たものであるとか， 100の100倍であるなどという多面的な見方を通して，その大き さをとらえられるようにする。その際，身近で使われている大きな数について調べる などして，数の大きさについての感覚を豊かにすることが大切である。 また，数の表し方については，１万より大きい数についても，万を単位として，十 万，百万，千万のように，十，百，千を用いて表せるようにする。 １万より大きな数については，具体的に数えたり，数を唱えたりする経験は少ない ので，その指導に当たっては，十進位取り記数法の原理を基にして理解を図ったり， 万の単位の目盛の付いた数直線の上で数を表すことによって理解できるようにするな どの指導が大切である。その際に，数直線の用語を指導する。 なお，「内容の取扱い」の( 1 )では， 「１億についても取り扱うものとする」と示し ている。これは，第４学年で指導する億の単位へと接続できるよう，スパイラルとし て指導するものである。 イ 10倍， 100倍， の大きさ 10倍，100倍， の大きさの数の表し方を指導し，記数法についての理解を深め るようにする。 一つの数を 10倍， 100倍した大きさをつくると，その数字の並び方は変わらない ことや，対応する数字の単位の大きさは，それぞれ， 10倍， 100倍した関係になって いることに着目できるようにする。例えば， 234を10倍すると，百の位の２が千の 位に，十の位の３が百の位に，一の位の４が十の位にくるという関係である。同様に， 一つの数の の大きさをつくると，その数字の並び方は変わらないことや，そのと き，二つの数の対応する数字の単位の大きさは，それぞれ， の関係になっている ことに着目できるようにする。 ウ 数の相対的な大きさ 第３学年では，数の範囲を万の単位に広げてとらえられるようにする。その際，十， 百，千，万を単位として数の相対的な大きさをとらえるようにして，数についての感 10 1 10 1 10 1 10 1 --42/162-- - 103 - 覚を豊かにすることが大切である。 500＋700は，百を単位にすると５＋７とみられる。また， 800は百を単位にする と８とみられることから， 800×５は百を単位にすると８×５とみられる。このよう な数の相対的な大きさの見方を活用して，数をとらえたり，数の大きさを比較したり， 計算をしたりできるようにする。その際に，不等号の用語を指導する。 Ａ(2) 加法，減法 (2) 加法及び減法の計算が確実にできるようにし，それらを適切に用いる能力を伸ば す。 ア ３位数や４位数の加法及び減法の計算の仕方を考え，それらの計算が２位数 などについての基本的な計算を基にしてできることを理解すること。また，そ れらの筆算の仕方について理解すること。 イ 加法及び減法の計算が確実にでき，それらを適切に用いること。 ウ 加法及び減法に関して成り立つ性質を調べ，それを計算の仕方を考えたり計 算の確かめをしたりすることに生かすこと。 〔算数的活動〕(1) ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いた り，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 〔用語・記号〕 等号 （内容の取扱い） (2) 内容の「Ａ数と計算」の(2)及び(3)については，簡単な計算は暗算でできるよう 配慮するものとする。 --43/162-- - 104 - (3) 内容の「Ａ数と計算」の(2)のウについては，交換法則や結合法則を取り扱うも のとする。 第３学年では，児童がこれまでに身に付けてきた基本的な計算を基にして，３位数 や４位数の計算の仕方を考えたり，それらの計算が確実にできるようにしたりするの がねらいである。 ア 加法，減法の計算の仕方 第２学年で指導した２位数及び簡単な３位数の加法及び減法の計算を基にして，３ 位数や４位数の加法及び減法の計算の仕方を考えることを指導する。 例えば， 154＋172の計算を考える場合， 54＋72＝126の学習の経験を生かしな がら，児童が自ら計算の仕方を考え出すことができるように指導する。 その際に，第２学年で指導した２位数の加法及び減法の筆算の仕方を基に，３位数 や４位数の加法及び減法についても位をそろえて筆算により計算できるように指導す る。 また，３位数の加法や減法の計算の仕方を基にして，４位数の加法及び減法の計算 の仕方を考え出せるように指導する。 イ 加法，減法の計算の確実な習得 ３位数や４位数の加法及び減法の計算の技能を確実に身に付けて，必要な場面でそ れらの計算を活用できるようにする。 ３位数及び４位数の加法や減法の計算の仕方を考えたり，計算の確かめをしたりす るときには，計算の結果の見積りを生かすよう配慮する必要がある。例えば， 389＋ 4897の計算において位をそろえずに計算し 8787と答えを求めたとき， 389をおよそ 400，4897をおよそ 5000とみれば答えは 5400になることから 8787という答えは間違 っていることに気付けるという場面である。このような場面で，児童自ら見積りがで きるようにすることが大切である。 「内容の取扱い」の( 2)で示している簡単な計算の暗算とは，２位数どうしの加法 やその逆の減法である。こうした計算は，日常生活でも多く用いられるし，また算数 での乗法や除法の計算を行う過程でも必要になるからである。日常生活においては， --44/162-- - 105 - 暗算で結果の見当を付けることも多い。指導に当たっては，そうした活用に配慮する ことが大切である。 ウ 加法や減法に関して成り立つ性質 第２学年でも，計算の仕方の工夫や計算の確かめをするに当たって，加法や減法に 関して成り立つ性質を調べる指導をしている。第３学年では，３位数や４位数の加法 及び減法の計算の仕方を考えたり計算の確かめをしたりする際に， 計算の性質を調べ， それを生かしていく。なお， 「内容の取扱い」の( 3 )で示すように，加法についての 交換法則や結合法則を指導し，例えば， 387＋74＋26を387＋（74＋26）と工夫し て計算することなどができるようにする。ただし，計算法則などを式に表し一般的に 扱うのは第４学年の内容である。 〔算数的活動〕 （1)ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いたり，言 葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 この活動は，計算の意味や仕方を考えたり，考えを表現したりすることをねらいと している。ここでは， ３位数や４位数の加法及び減法の計算の仕方の意味を説明する。 例えば， 568＋437の場合，第２学年で指導した 68＋37のような２位数の加法に おける計算の仕方を基に，百の位，十の位，一の位に分けてとらえ，位ごとに計算す る。その際，繰り上がりの１の処理の仕方を考えると，十の位は「３と６と繰り上が りの１を合わせて 10」 ，百の位は「４と５と繰り上がりの１を合わせて 10」となり， 答えが求まる。これを，次のように図で表現し，言葉による説明も加えて表現できる ようにする。 ○ 100 ○ 100 ○ 100 ○ 100 ○ 100 IIIII @@@@@ I@@@ ＋＋＋ ○ 100 ○ 100 ○ 100 ○ 100 III @@@@@ @@ ⇒ ⇒ ⇒ ○ 100 ○ 100 ○ 100 ○ 100 ○ 100 IIIII @@@@@ 1000↓ ○ 100 ○ 100 ○ 100 ○ 100 ○ 100 ↓IIII I ↓@@@@@ @@@@@ --45/162-- - 106 - Ａ(3) 乗法 (3) 乗法についての理解を深め，その計算が確実にできるようにし，それを適切に 用いる能力を伸ばす。 ア ２位数や３位数に１位数や２位数をかける乗法の計算の仕方を考え，それ らの計算が乗法九九などの基本的な計算を基にしてできることを理解するこ と。また，その筆算の仕方について理解すること。 イ 乗法の計算が確実にでき，それを適切に用いること。 ウ 乗法に関して成り立つ性質を調べ，それを計算の仕方を考えたり計算の確 かめをしたりすることに生かすこと。 〔算数的活動〕(1) ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いた り，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 （内容の取扱い） (2) 内容の「Ａ数と計算」の(2)及び(3)については，簡単な計算は暗算でできるよ う配慮するものとする。 (4) 内容の「Ａ数と計算」の(3)については，乗数又は被乗数が０の場合の計算につ いても取り扱うものとする。 (5) 内容の「Ａ数と計算 」 の(3)のウについては，交換法則，結合法則や分配法則を 取り扱うものとする。 第３学年では，２位数や３位数に１位数や２位数をかける乗法の計算を指導する。 ア 乗法の計算の仕方 乗数が１位数の計算の指導に当たっては，児童が自らその計算の仕方を考えるよう --46/162-- - 107 - 指導することが大切である。例えば， 23×４の計算を考える場合， 23を20＋3 とみ て，20×4と３×４に分けて考えることができる。これは，筆算の仕方に結び付く 考えである。このようにして，児童自らが，これまでに学習してきた十進位取り記数 法や乗法九九などを基にして，新しい筆算の方法を考えていけるようにすることが大 切である。３位数に１位数をかける計算の指導に当たっても同様である。 乗数が２位数の場合は，何十をかける計算と，１位数をかける計算に基づいて考え ることができる。例えば， 23×45の計算の場合，乗数の 45を40＋5 とみて， 23×40 と23×5に分けて考える。その際，何十をかける計算や１位数をかける計算に基づ いて，乗数が２位数の場合の計算を工夫する過程では，その結果や方法についての見 通しを立てることが必要になる。 なお， ここで学習する乗法の計算の技能は，児童が確実に身に付けられるようにし， 生活などの場面でそれらの計算を活用できるようにすることが大切である。 イ 乗法の計算が確実にでき，用いること 乗法の計算には，乗数や被乗数が人数や個数などの簡単な場合がある。また，例え ば，「１ｍのねだんが 85円のリボンを 25ｍ買うと代金はいくらか。 」などのような場 合にも用いることができる。さらに，除法の逆としての乗法の問題，例えば「ひもを ４等分した一つ分を測ったら９ cm あった。はじめのひもの長さは何 cm か。 」のよう な場合にも，乗法が用いられることを理解できるようにする。乗法が用いられる場面 を判断し，適切に用いることができるよう指導することが大切である。 「内容の取扱い」の( 4)では， 「乗数又は被乗数が０の場合の計算についても取り 扱うものとする」と示している。例えば，的当てで得点を競うゲームなどで，０点の ところに３回入れば，０×３と表すことができる。３点のところに一度も入らなけれ ば，３×０と表すことができる。０×３の答えは，実際の場面の意味から考えたり， 乗法の意味に戻って０＋０＋０＝０と求めたりする。また３×０の答えは，具体的な 場面から０と考えたり，乗法のきまりを使って３×３＝９，３×２＝６，３×１＝３ と並べると積が３ずつ減っていることから，３×０＝０と求めることができることに 気付くようにする。また，こうした０の乗法は， 30×86 や54×60のような計算の 場合にも活用される。 --47/162-- --47/162-- - 108 - ところで， 「内容の取扱い」の( 2)では， 「簡単な計算は暗算でできるよう配慮する ものとする」と示している。これは，乗法や除法の計算の過程で暗算を必要とするこ とがあるためである。また，日常生活においても，暗算で見当を付けたり結果を求め たりすることが多いためである。ここでいう簡単な計算とは，２位数に１位数をかけ る程度の乗法であるが，その扱いについては，児童にとって過度の負担にならないよ う配慮する必要がある。なお，指導に当たっては，筆算をしたり見積りをしたりする 際に，暗算を生かすようにすることが大切である。 ウ 乗法に関して成り立つ性質 第２学年では，乗数が１ずつ増えるときの積の変化や交換法則などを指導してきて いる。第３学年では， 「内容の取扱い」の( 5 )で示しているように，乗法の交換法則 や結合法則を指導する。また，乗数が１ずつ増えるときの積の変化の様子を基に， ａ×(ｂ±１)＝ａ×ｂ±ａのように，乗数が 1 ずつ増減したときの積が被乗数の大き さずつ増減することについて成り立つことを調べ， この法則を活用できるようにする。 さらに，ａ×(ｂ±ｃ)＝ａ×ｂ±ａ×ｃという分配法則の式が成り立つことを調べ， 筆算形式で処理する際などに用いてきていることを理解できるようにする。例えば， 24×3 の計算を考える場合， 20×3 と４×３を合わせたものと考えていくことは， 分配法則を活用していることになる。 これらの性質については，計算の仕方を考えたり，説明したり，計算の確かめをし たりする際に生かしていくようにし，これらの性質を用いることのよさに気付いてい けるように指導することが大切である。 なお，これらの性質についての理解をまとめ，これらの性質が小数も含めて成り立 つことについて理解できるようにするのは，第５学年の内容である。 〔算数的活動〕 （1)ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いたり， 言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 この活動は，計算の意味や仕方を考えたり，考えを表現したりすることをねらいと している。ここでは，筆算の仕方を説明する。 例えば， 23×4 の場合，被乗数の 23を「 20と３」に分けてとらえた上でさらに「 10 --48/162-- - 109 - が２と１が３」ととらえ，それぞれに４をかけると「 10が８」 ，「１が 12」となり， あわせて「 80＋12で92」となる。これを，次のように図で表現し，言葉による説明 も加えて表現できるようにする。 @@@@ I @ @@@@ ↑ @ @@@@ IIII ↑ IIII IIII IIII ９２ Ａ(4) 除法 (4) 除法の意味について理解し，それを用いることができるようにする。 ア 除法が用いられる場合について知ること。また，余りについて知ること。 イ 除法と乗法や減法との関係について理解すること。 ウ 除数と商が共に１位数である除法の計算が確実にできること。 エ 簡単な場合について，除数が１位数で商が２位数の除法の計算の仕方を考え ること。 〔算数的活動〕(1) ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いた り，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 〔用語・記号〕 ÷ 除法は，第３学年から指導する内容である。 --49/162-- - 110 - ア 除法が用いられる場合とその意味 除法が用いられる具体的な場合として，大別すると次の二つがある。 一つは，ある数量がもう一方の数量の幾つ分であるかを求める場合で，包含除と呼 ばれるものである。他の一つは，ある数量を等分したときにできる一つ分の大きさを 求める場合で，等分除と呼ばれるものである。なお，包含除は，累減の考えに基づく 除法ということもできる。例えば， 12÷3 の意味としては， 12個のあめを１人に３ 個ずつ分ける場合（包含除）と３人に同じ数ずつ分ける場合（等分除）がある。 包含除と等分除を比較したとき，包含除の方が操作の仕方が容易であり， 「除く」 という意味に合致する。また， 「割り算 」 という意味からすると等分除の方が分かり やすい。したがって，除法の導入に当たっては，これらの特徴を踏まえて取り扱うよ うにする必要がある。なお，おはじきなど具体物を操作したり，身の回りのものを取 り扱ったりするなど，具体物を用いた活動などを取り入れることが大切である。 あわせて，除法には割り切れない場合があり，その場合には，余りを出すことを指 導する。 イ 除法と乗法，減法の関係 除法は，乗法の逆算ともみられる。そこで，乗法と関連させて，被乗数，乗数のい ずれを求める場合に当たっているかを明確にすることも大切である。包含除は 3 ×□ ＝12の□を求める場合であり，等分除は，□× 3 ＝12の□を求める場合である。ま た，実際に分ける場合でも，包含除も等分除と同じ仕方で分けることができることな どにも着目できるようにしていくことが大切である。そのようにして，どちらも同じ 式で表すことができることが分かるようにする。 また，余りのある場合，例えば「 13枚のカードを１人に４枚ずつあげる」場面や 「13枚のカードを４人に同じ枚数ずつ分ける 」場面で， 13÷4 は４×□や□×４が 13 以下で13に近くなるときの整数□とそのときの余りを求めること，つまり整数の除 法13÷４は，カードを分ける操作で最大の回数を求めることに当たっていること， そしてそのときの余りの大きさは除数よりも小さくならなければならないことなどに ついて理解できるようにする。 --50/162-- - 111 - ウ 除法の計算 除数と商が１位数の場合の除法を指導する。例えば， 48÷6 や13÷4 などの乗法 九九を１回用いて商を求めることができる計算である。こうした計算は，今後指導す る商が２位数の除法及び小数の除法の計算のためにも必要であり，確実に身に付けて おく必要がある。 エ 簡単な場合の除数が１位数で商が２位数の除法 除数と商が１位数の場合の除法を活用して，簡単な場合についての除数が１位数で 商が２位数の除法についても指導する。 ここでは次のような簡単な場合についての計算を指導する。 一つは， 80÷4 や90÷3 のように，被除数が何十で，被除数の十の位の数が除数 で割り切れる計算である。 80÷4 の場合，児童自らが 80を「 10が８個」ととらえ， その「８個」を４で割ると答えは「 10が２個」というように単位の考えに基づいて 考えることが大切である。 もう一つは，被除数が２位数で， 69÷3のように，十の位の６と一の位の９がそ れぞれ除数の３で割りきれる除法である。 69÷3 の場合，単位の考えによる 60÷3 の計算の仕方の理解に立ち，児童自らが２位数の乗法と同じように 69を60と９に分 けてとらえた上で， 60÷3 ＝20，９÷３＝３として答えは 23と考えることができる。 こうした計算の仕方を考える指導は，除数と商が１位数の場合の除法の計算技能及 び計算の意味の理解を確実なものとし，身に付けた知識及び技能を活用する力を育て る上で重要である。 なお， 〔算数的活動〕( 1)ア「整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の 仕方を，具体物を用いたり，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動」 については，ほかの内容項目において述べている。 Ａ(5) 小数の意味や表し方 (5) 小数の意味や表し方について理解できるようにする。 ア 端数部分の大きさを表すのに小数を用いること。また，小数の表し方及び --51/162-- - 112 - の位について知ること。 イ の位までの小数の加法及び減法の意味について理解し，計算の仕方を 考え，それらの計算ができること。 〔算数的活動〕(1) ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いたり， 言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 イ 小数や分数を具体物，図，数直線を用いて表し，大きさを比べる活動 〔用語・記号〕 小数点 の位 数直線 （内容の取扱い） (6) 内容の「A数と計算」の(5)及び(6)については，小数の0.1と分数の など を数直線を用いて関連付けて取り扱うものとする。 第２学年では，長さや体積の測定に関して， 「９ cmと２ mm」 ， 「３ｌと６ dl」な どと表すことを指導している。第３学年では，これらの経験を踏まえて， 端数部分 の大きさを表すのに小数を用いることを理解し，それらを適切に用いることができる ようにする。 小数を用いると，1 ｌに満たない量を0.8 ｌと表したり，2 lと5 dlをあわせた量 を2.5 lと表したりすることができる。その際に，量を測定する単位の構成が十進構 造になっていることについて理解できるようにする。 10 1 10 1 10 1 10 1 --52/162-- - 113 - 小数についてもこれまでの整数と同様，加法及び減法が考えられることを知り，そ れらの計算の仕方を考え，計算ができるようにすることにもねらいがある。 ア 小数の意味と表し方 小数が必要とされるのは，測定と関連している場合が多いので，端数部分の量の表 現に関連して導入することが考えられる。 小数は，これまでの整数の十進位取り記数法の考えを１より小さい数に拡張して用 いるところに特徴がある。整数の場合は，ある単位の大きさが10集まると次の単位と なって表される仕組みであったが，小数の場合は，逆に，ある単位(1)の大きさを10 等分して新たな単位(0.1)をつくり，その単位の幾つ分かで大きさを表している。こ こで， 「 の位」という用語と意味について指導する。 の位の代わりに，小数第 １位と呼ぶことがある。 小数を数直線の上に表して，整数と同じ数直線の中に位置付けることは，小数の理 解を深める上で大切なことである。例えば，3.6は整数の３と４の間にあること，さ らに，３と４の間を10等分した目盛りの６番目にあることなど，整数の数直線と関係 付けて指導する。 なお， 「内容の取扱い」の(6)については， 「Ａ(6)分数の意味や表し方」の解説の 中で述べている。 イ 小数の加法，減法 小数の加法及び減法の意味について理解し，計算の仕方を考え，それらの計算がで きるように指導する。 小数の加法及び減法の計算の仕方について，次のように考えることができる。 @ 小数の加法及び減法の計算を数直線に対応させて考える。 A 相対的な大きさを用いて，小数の計算を整数の計算に直して処理する。 B 小数の計算では，小数点をそろえ，各位の単位をそろえて計算する。このよう にすると，整数部分どうし，小数部分どうしで計算することができる。 また，１は の単位が10個であるから，繰り上がり，繰り下がりのある計算 10 1 10 1 10 1 --53/162-- - 114 - が，整数のときと同じようにできる。 小数の加法及び減法の計算は，最終的には，上記のBのように，小数点をそろえて 位ごとに計算するなど，小数の仕組みの理解の上に立って行うようにし，整数と同じ 原理，手順でできることを理解できるようにすることが大切である。 なお， 〔算数的活動〕(1)ア 「整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の 仕方を，具体物を用いたり，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動」 及びイ「小数や分数を具体物，図，数直線を用いて表し，大きさを比べる活動」につ いては，ほかの内容項目において述べている。 Ａ(6) 分数の意味や表し方 (6) 分数の意味や表し方について理解できるようにする。 ア 等分してできる部分の大きさや端数部分の大きさを表すのに分数を用い ること。また，分数の表し方について知ること。 イ 分数は，単位分数の幾つ分かで表せることを知ること。 ウ 簡単な場合について，分数の加法及び減法の意味について理解し，計算 の仕方を考えること。 〔算数的活動〕(1) ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いたり， 言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 イ 小数や分数を具体物，図，数直線を用いて表し，大きさを比べる活動 〔用語・記号〕 数直線 分母 分子 --54/162-- - 115 - （内容の取扱い） (6) 内容の「A数と計算」の(5)及び(6)については，小数の0.1と分数の など を数直線を用いて関連付けて取り扱うものとする。 第２学年では， ， など簡単な分数について指導している。そうした指導を基 にして，児童は分数について理解するための素地的な学習活動をしてきている。そう した学習の体験を基にして，第３学年から，分数の意味や表し方について確実に身に 付けられるようにする。また，分数についても，これまでの整数と同様，加法及び減 法が考えられることを知り，それらの計算の仕方を考え，計算ができるようにする。 ア 分数の意味と表し方 分数は，等分してできる部分の大きさや端数部分の大きさを表すのに用いられる。 分数の意味について，その観点の置き方によって，様々なとらえ方ができる。 を例にすると，次のようである。 @ 具体物を３等分したものの二つ分の大きさを表す。 A ｌ， ｍのように，測定したときの量の大きさを表す。 B １を３等分したもの(単位分数である ）の二つ分の大きさを表す。 C ＡはＢの というように，Ｂを１としたときのＡの大きさの割合を表す。 D 整数の除法「２÷３」の結果（商）を表す。 これらは便宜上分けたところもある。指導に当たっては，幾つかの考えを同時に用 いることが多い。なお， 「分母」 ， 「分子」の用語を扱う。 第３学年では，上記の@，A，Bなどの考え方を用いる。CやDについては，第５ 学年で取り扱う。 １ ２ １ ４ ２ ３ ２ ３ ２ ３ ２ ３ １ ３ 10 1 --55/162-- - 116 - イ 単位分数の幾つ分 などの大きさを単位として表す小数に対して，分数は ， ， など，単位 として都合のよい大きさを選ぶことができる。このような点に，分数で表すことのよ さがある。 ， ， のように，分子が１である分数を単位分数という。分数は，単位分数 の幾つ分かで表すことができる。例えば， は の二つ分である。 は，１より小 さい分数である。また， は の四つ分であり，１より大きい分数である。 分数の大きさをとらえられるようにするために，分数を数直線の上に表示するなど の指導の工夫が必要である。 なお， 「内容の取扱い」の(6)では， 「小数の0.1と分数の などを数直線を用いて 関連付けて取り扱うものとする」と示している。小数と分数の学習の後で，小数の 0.1と分数の などを同一の数直線の上下に表し，大きさが同じ数であることを視覚 的にも実感できるよう配慮する。 ０１ ０0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9１ ウ 簡単な場合の分数の加法，減法 ここでは，同分母の分数の加法及び減法の意味について理解し，その計算の仕方を 考えていく。簡単な場合として，真分数どうしの加法及び減法を指導し，和が１まで の加法と，その逆の減法を取り扱う。 計算の仕方としては，単位分数の個数の加法及び減法をすることと考えると，整数 の場合と同様に処理できることが分かる。 10 1 １ ３ １ ４ １ ５ １ ３ １ ４ １ ５ ２ ３ １ ３ ２ ３ １ ３ ４ ３ 10 1 10 1 １ 10 ２ 10 ３ 10 ４ 10 ５ 10 ６ 10 ７ 10 ８ 10 ９ 10 --56/162-- - 117 - 例えば，長さの場面を例にあげると， ｍと ｍを合わせると何ｍになるかとい う問題で， ｍの三つ分（単位分数の三つ分）に当たるということを考えたり説明 したりできるようにする。 なお， 〔算数的活動〕( 1)ア「整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の 仕方を，具体物を用いたり，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動」 については，ほかの内容項目において述べている。 〔算数的活動〕(1) イ 小数や分数を具体物，図，数直線を用いて表し，大きさを比べる活動 この活動は，小数や分数の意味と大きさについて実感を伴って理解させることをね らいとしており，小数や分数の指導の導入場面で， 下記のように具体物と関連させて， 小数や分数の意味とその大きさについて理解させるものである。 例えば，小数では，導入の場面で，@のように１リットルますに入っている液量が 全体を10等分したうちの二つ分と気が付き，それをAのような図に表したり，その 図を手がかりにBのように数直線に表したりする一連の活動を通して，１を 10等分 し， その単位（ 0.1）の幾つ分と表していることを理解させる。 @A B また，数直線の中に，ほかの小数を書き入れ，二つの小数の位置により大小比較を する活動を取り入れることも，小数の意味や大きさ，加法及び減法について理解させ る上で大切である。 分数でも，小数と同様に，折り紙の半分の半分は全体を４等分したうちの一つ分と いう経験をCのような図に表し，その図を手がかりにDのようなテープの図に表した り，Eのように数直線に表したりする一連の活動を通して，１を４等分し，その単位 １ ５ １ ５ ２ ５ --57/162-- --57/162-- - 118 - ( )の幾つ分かで表していることを理解させる。 CD E０１ 小数と分数を学習した後，小数と分数の大小比較でも，下図のように数直線上に小 数(0.5)と分数( )を表すとその大きさを簡単に比べられることに気付くようにする。 ０１ ０ 0.5 １ Ａ(7) そろばん (7) そろばんによる数の表し方について知り，そろばんを用いて簡単な加法及び 減法の計算ができるようにする。 ア そろばんによる数の表し方について知ること。 イ 加法及び減法の計算の仕方について知ること。 〔算数的活動〕(1) ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用いたり， 言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 そろばんは，古くから我が国で用いられている計算のための道具であり，数を表し たり，計算したりするのに便利なものである。数を表すための位を定め，珠を操作す １ ４ １ ４ １ ４ 10 2 10 2 --58/162-- - 119 - ることによって，整数や小数を表すことができる。そろばんの仕組みが分かると，そ うした数の加減乗除の計算をすることもできるようになる。そろばんは，第３学年及 び第４学年において指導する。 ア そろばんによる数の表し方 第３学年では，そろばんによる整数や小数の表し方について指導する。十進位取り 記数法の仕組みにより，整数や小数を表せるようにする。整数では，万の単位の数ま で表し，小数では， の位の数まで表すことを指導する。 イ そろばんによる計算の仕方 計算に関しては，珠の操作による計算の仕方について理解し，簡単な加法及び減法 の計算ができるようにする。整数では，１位数や２位数の加法及び減法の計算につい て指導する。数を入れるだけで計算できる「２＋１」 ， 「３−１」などから始め，５ の合成や分解をともなう「４＋３」 ， 「６−４」などの計算や，繰り上がりや繰り下 がりのある「８＋９」 ，「15−７」などの計算ができるようにする。また， 「３万＋５ 万」などの万の単位を含む簡単な計算ができるようにする。小数では， 「2.6＋0.3」 などの の位までの簡単な加法及び減法の計算ができるようにする。 なお， 〔算数的活動〕( 1)ア「整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の 仕方を，具体物を用いたり，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動」 については，ほかの内容項目において述べている。 〔Ｂ 量と測定〕 Ｂ(1) 長さ，重さの単位と測定 ( 1) 長さについての理解を深めるとともに，重さについて単位と測定の意味を理 解し，重さの測定ができるようにする。 ア 長さの単位（キロメートル( km)）について知ること。 イ 重さの単位（グラム( g)，キログラム( kg)）について知ること。 10 1 10 1 --59/162-- - 120 - 〔算数的活動〕( 1 ) ウ 長さ，体積，重さのそれぞれについて単位の関係を調べる活動 （内容の取扱い） ( 7) 内容の「Ｂ量と測定」の( 1)のイについては，トン( t )の単位についても触 れるものとする。 第３学年では，長さについて理解を深めること，また第１学年からの長さや体積の 学習を基に重さについて理解し，その普遍単位を知り，計器を用いて測定することが できるようにすることをねらいとしている。 ア 長さの単位（km） 長さの単位として，第３学年では，キロメートル（ km）を指導する。１ kmの長さ を直接に見てとらえることは難しいため， 100ｍの10倍，10ｍの 100倍といった関 係を基にして理解させたりすることが必要である。また，学校から１qの道のりに当 たるところを調べてみたり，どんなところにキロメートルという単位が用いられてい るかについて関心をもったりといった，進んで調べようとする態度も身に付けさせる ことが大切である。 イ 重さの単位（ｇ，kg）と測定 児童は日常生活において，物を持ち上げたり，身に付けたりするとき，それらが何 かと比べて重いと感じたり，軽いと感じたりする体験をしている。また，体重の測定， 食品の買い物などで，計器を用いてものの重さを測定することを見聞きしている。 重さの指導では，このような児童の体験等を踏まえ，ほかの量と同様に，単位とな る重さの幾つ分かで測定できると考えることができるように指導する。また， 1kg の 重さの具体物を手で持ち上げるなどの体験的な活動を通して，重さについても，基本 的な量の大きさについての感覚を豊かにすることが大切である。 --60/162-- - 121 - ものの重さを測る場合には，そのものを直接測ることができないので容器などに入 れて測る場合がある。この場合には， 「 （正味の重さ）＝（全体の重さ）−（容器の 重さ）」という関係が用いられることになる。 〔算数的活動〕(1)ウ 長さ，体積，重さのそれぞれについて単位の関係を調べる活動 この活動は，第３学年までに学習した長さ，体積，重さの単位の学習を活用して， それぞれの単位に共通する関係などについて気付かせ，単位についての理解を深める ことをねらいとしている。 この活動においては，第３学年までに学習した長さ（ mm ， cm ， m ， km），体積（ ml ， dl ，l ） ，重さ（ g ，kg）の単位についてまとめた表などから，それぞれに共通する関 係などを調べる。その際，次のようなことを見いだすことができる。 ・長さと重さの単位には，どちらもｋ（キロ）の付いた単位があること ・長さと体積の単位には，どちらもｍ（ミリ）の付いた単位があること ・１ kmは1000 mであり，１ mが1000集まった大きさになっていること ・１ kgは1000 gであり，１ g が1000集まった大きさになっていること ・１ l は1000 mlであり，１ ml が1000集まった大きさになっていること ・１ mは1000 mmであり，１ mm が1000集まった大きさになっていること なお，第６学年では「メートル法の単位の仕組み」として，第６学年までに学習し た単位について指導する。 「内容の取扱い」の( 7 )では， g，kg以外の重さの単位，トン( t )の扱いについて示 している。ここでは，日常でよく用いられている「トン( t )」も大きい重さを表す重 さの単位であることや，１ tは1000 kgであることを指導する。 Ｂ(2) 目的に応じての単位や計器の選択 ( 2) 長さや重さについて，およその見当を付けたり，目的に応じて単位や計器を 適切に選んで測定したりできるようにする。 ここでは，主に実際の生活場面での効率的な測定，的確な表示ができるようにする --61/162-- - 122 - ことをねらいとしている。 ある量を測定するとき，その量がどの程度の大きさであるか， およその見当を付け， 測定に用いる単位や計器を適切に選択できるようにしなければならない。例えば，木 の回りなどの曲線部分の長さを測る場合に，巻き尺を用いて測ることや，物の重さを 測る場合に，およその見当を付け，適切な計器を選択して測ることについて指導する。 その際，測定して得られた数値が，適切な単位を選択することにより，扱いやすい大 きさになるようにすることが望ましいことが分かるようにする必要がある。 Ｂ(3) 時刻と時間 ( 3) 時間について理解できるようにする。 ア 秒について知ること。 イ 日常生活の中で必要となる時刻や時間を求めること。 時間という量は，長さや面積，体積と違って，見かけではとらえにくい。また，基 準の大きさを決めて，それを単位にして測るという操作を直接行うことは難しい。そ こで，日常生活の中での行動や経験と対応させて，具体的な場面で時間の経過をつか むことができるようにし，次第に時間について理解できるようにしていくことが大切 である。 ア 時間の単位（秒） 時間の単位として，秒を指導する。また，１分間が 60秒という関係を指導し，そ れを用いることができるようにする。秒という単位が，日常のどのような場面で用い られているかについて指導することも大切である。 イ 時刻や時間を求めること ここでは，日常生活で必要となるような場合について，時刻や時間を求めることが できるようにする。実際に時計の針を動かしてみるなどの具体物を用いた活動を取り 入れることによっても理解が深まるようになる。計算によって求める場合には，日常 生活の中で必要となる場面で指導するようにし，いたずらに複雑な単位の換算は避け るようにする。 --62/162-- - 123 - 〔Ｃ 図 形〕 Ｃ(1) 二等辺三角形，正三角形などの図形 ( 1) 図形についての観察や構成などの活動を通して，図形を構成する要素に着目 し，図形について理解できるようにする。 ア 二等辺三角形，正三角形について知ること。 イ 角について知ること。 ウ 円，球について知ること。また，それらの中心，半径，直径について知る こと。 〔算数的活動〕(1) エ 二等辺三角形や正三角形を定規とコンパスを用いて作図する活動 第３学年では，二等辺三角形，正三角形などを指導し，これらに関連して角につい ても理解できるようにする。 ア 二等辺三角形，正三角形 辺の長さに着目して，三角形の特徴をとらえられるようにする。二辺の長さが等し い三角形を二等辺三角形といい，三辺の長さが等しい三角形を正三角形という。そし て，定規やコンパスによる作図などの活動を通して，二等辺三角形や正三角形につい て理解できるようにする。また，二等辺三角形では，二つの角の大きさが同じである ことや，正三角形では，三つの角の大きさが同じであることを確かめるようにする。 これは，二等辺三角形や正三角形を観察したり，実際に紙を切り抜いて作った三角形 を折ってみたりするなどの活動を通して，確かめることができる。 --63/162-- - 124 - さらに，合同な二等辺三角形や正三 角形を敷き詰める活動を通して，これ らの図形でも平面が敷き詰められるこ とを理解し，敷き詰めてできた図形の 中を観察することによって，その中に ほかの図形を認めること，平面図形の 広がりや図形の美しさを感得したりすることなど，図形についての見方や感覚を豊か にしていくようにする。 イ角 第２学年では，直角について指導している。第３学年では，一つの頂点から出る２ 本の辺が作る形を角ということを指導する。二つの角を重ねることによって，角の大 きさを比べることができるようにする。実際に紙を切り抜いて作った二等辺三角形や 正三角形について，長さの等しい辺を重ねるように折ることによって，二つの角の大 きさが同じであることを確かめることなどを指導する。 なお，角の大きさの単位と測定については，第４学年で指導する。 ウ円，球 円と球については，第１学年で，まるい形，ボールのような形としてとらえてきて いる。第３学年では，観察，分類，構成，作図などの活動を通して円について，また， 観察を通して球について理解できるようにする。 円については，右の図のように，円周上のどの点も中心 から等距離にあることが分かるようにする。 そして，半径は中心から円周までひいた直線と約束する。 直径については，中心を通り，円周から円周までひいた直 線と約束する。 さらに，作図などを通して，半径や直径は無数にあることに気付かせる。そして， 円による模様作りなどを行い，コンパスの操作に慣れさせるとともに，円のもつ美し さに触れるようにする。また，グラウンドで大きな円をかく活動や，身の回りにある 円の形をしたものを見付けるなどの活動を通して，円に対する興味・関心を深める。 --64/162-- - 125 - また，この内容に関連してコンパスを用いるが，コンパスは単に円をかくだけでな く，等しい長さを測り取ったり移したりすることができる道具で，長さを比べたりす る場面などでも活用できる。 さらに，紙で作った円を折って円の中心を見付けたり，コマ作りをしたりするなど の活動も，円の性質に気付いていくために有効である。 球については，球を平面で切ると切り口はどこも円になること，球をちょうど半分 に切った場合の切り口が最大になることなどを模型の 操作や観察を通して理解させる。 また，ボールなどの球の直径の大きさは，ボールを 直方体などの立体ではさむなどの活動によって調べる ことができる。 〔算数的活動〕(1)エ 二等辺三角形や正三角形を定規とコンパスを用いて作図する活動 この活動は，二等辺三角形や正三角形を定規やコンパスを用いて作図する活動を通 して，目的や場合に応じて，定規やコンパスを用いて作図する方法を自在に活用でき るようにすることをねらいとしている。 この活動は，図形を構成する要素に着目したり，図形の性質を理解したりするとき に定規やコンパスを上手に活用できるようにする上でも大切である。 定規やコンパスを用いた二等辺三角形の作図には，次のような方法が考えられる。 @ 与えられた条件（底辺）を利用して作図する方法 線分イウがあるとき，点イを中心としてコンパスで弧をかき，同じ半径で点ウから 弧をかいて，交わった点アと，点イ，点ウとを結んでかく。 A 円を用いて作図する方法 コンパスで円をかき，円の半径はどこでも等しいという性質を使って，円周上の２ 点と円の中心とを結んでかく。 方眼を用いた，次のような方法も考えられる。 B 方眼を用いて作図する方法 方眼を使って，線分イウを決め，点イ，点ウの垂直二等分線上の点アと，点イ，点 --65/162-- - 126 - ウとを結んでかく。 @A B アア ア イウイウ イウ また，下の図のように，折り紙から正三角形を構成することができる。 @ 折り紙を下の図のように半分に折って，折り目を付ける。 A 右下の頂点を折り目の上に重ねる。 B 重なった点に印を付ける。 C 折り紙の頂点と印の点を結ぶ。 〔折り紙から正三角形を構成〕 @〔折り目を付ける〕 AB〔右下の頂点を折り目の上に C〔折り紙の頂点と印の点 重ねて，そこに印を付ける〕 を結ぶ〕 〔Ｄ 数量関係〕 Ｄ(1) 除法の式 (1) 除法が用いられる場面を式に表したり，式を読み取ったりすることができる ようにする。 --66/162-- - 127 - 〔用語・記号〕 ÷ 第３学年では，除法が用いられる場合の記号÷を用いた式について理解できるよう にする。指導に当たっては，これまでの加法，減法及び乗法と同様に，数量の関係を 式に表したり，式を読み取ったりすることを重視することが大切である。 式に表す指導に際しては， 「12個のあめを３人に，同じ数ずつ分ける」というよう な言葉（文章）による表現，○やテープなどの図を用いた表現，具体物を用いた操作 などと関連付けながら，式の意味の理解を深めるとともに，記号÷を用いた式の簡潔 さや明瞭さを味わうことができるようにする。 第３学年において，式を読み取るとは，式から具体的な数量の関係をとらえること である。例えば，15÷3の式から「みかんが15個あります。３個ずつ分けると何人に 分けられますか。 」というような問題場面を見いだすことができる。このように，式 と具体的な場面を関連付けるようにすることが大切である。 また，言葉や図などと関連付けながら， 「乗法における乗数や被乗数が，除法にお ける除数に相当する」など，除法の式の意味を乗法の式の意味との関係からとらえて いくことができるようにすることも大切である。 Ｄ(2) 数量の関係を表す式 (2) 数量の関係を表す式について理解し，式を用いることができるようにする。 ア 数量の関係を式に表したり，式と図を関連付けたりすること。 イ 数量を□などを用いて表し，その関係を式に表したり，□などに数を当て はめて調べたりすること。 式に表したり式を読み取ったりすることについては，第１学年の加法の指導に始ま り，減法，乗法及び除法の場面においてそれぞれの式の意味を理解させるとともに， 式は数量や数量の関係を簡潔，明瞭，的確に，また，一般的に表すことができる優れ た表現方法であることを指導している。第３学年では，式への関心を高め，式に表す --67/162-- --67/162-- - 128 - ことや式を読み取ることについての習熟を図るようにする。 ア 式と図の関連付け 第３学年では，式の指導において，具体的な場面に対応させながら，数量や数量の 関係を式に表すことができるようにするとともに，式が表している場面などの意味を 読み取ったり，式を用いて自分の考えを説明したり，式で処理したり考えを進めたり するなど，式を使いこなすことができるようにする。 図の指導においても，数量や数量の関係を図を用いて表すこと，図に表された数量 の関係を読み取ること，図を用いて自分の考えを説明することなどができるようにす る。 さらに，式が表していることと図が表していることが同じであることなどについて 理解できるようにする。 ○○○○ ３×４ ↓↑○○○○ ○○○○ 指導に当たっては，図に表された数量の関係を読み取ってそれを式に表す活動や， 式に表された数量の関係を読み取ってそれを図に表すなどの活動を通して，式と図を 関連付けることができるようにすることが大切である。 また，加法と減法の相互関係，乗法と除法の相互関係についても理解を深め，式と 図を関連付けながら説明することができるようにすることも大切である。 イ □を用いた式 第２学年では，加法及び減法についての理解を深めることに関連して， 「内容の取 扱い」で， （ ）や□を取り上げてもよいこととしている。 第３学年では，未知の数量を□などの記号を用いて表現することにより，文脈通り に数量の関係を立式し，□に当てはまる数を調べることができるようにする。 □などの記号については，未知の数量を表す記号として用いる場合と変量を表す記 号として用いる場合とに大きく分けられる。第３学年では，未知の数量を表す記号と して用いる場合を中心に指導し，□などの記号を用いて立式したり，図に表すことと 関連付けたりして，数量の関係を的確にとらえることができるようにする。 --68/162-- - 129 - 指導に当たっては，□などを数をかく場所としてはじめに扱い，次第に未知の数量 を表す記号などとしても扱い，文字としての役割をもつ□などについての理解が深ま るよう配慮する必要がある。 □に当てはまる数を調べることについては，例えば，□＋ 8 ＝17という式について， □の中に１，２，３，…と順に数を当てはめていく方法，およその見当を付けて８， ９と当てはめていく方法などがある。さらに，手際のよい方法として，四則計算の相 互の関係を基に逆算で求める方法がある。このような算数的活動に十分に取り組ませ ていく中で，□の表す数が９であるということだけでなく，□＋８という式そのもの が17という一つの数量を表しているとみることができるようにすることが大切であ る。 Ｄ(3) 表と棒グラフ ( 3) 資料を分類整理し，表やグラフを用いて分かりやすく表したり読み取ったり することができるようにする。 ア 棒グラフの読み方やかき方について知ること。 〔算数的活動〕(1) オ 日時や場所などの観点から資料を分類整理し，表を用いて表す活動 第２学年では，分類整理したことを表を用いて表したり，絵や図などを用いた簡単 なグラフに表したりすることを指導している。第３学年では，これらの指導を基にし て，身の回りにある事象について，目的に応じて観点を決め，資料を分類整理して， これを表やグラフを用いて表したり，読み取ったりすることができるようにすること を主なねらいとしている。 また，簡単な２次元の表を取り扱い，日時や場所などの二つの観点から表を見るこ とができるようにする。表については，分類の仕方や，表し方に様々な種類があるの で，それぞれの特色について理解したり，目的に応じて用いたりできるようにするこ --69/162-- - 130 - とが大切である。 また，表と関連付けながら，児童自身が見いだしたことを表現することを通して， 資料の中の数量の大きさの違いを一目でとらえることができるという棒グラフの特徴 についても気付くことができるようにする。 ア 棒グラフの読み方やかき方 第２学年までのグラフについての指導を基に，第３学年では，棒グラフについて， 数量の大小や差などを読むことに加えて，最大値や最小値をとらえたり，項目間の関 係，集団のもつ全体的な特徴などを読み取ったりすることができるようにすることを ねらいとしている。 指導に当たっては，児童の分かりやすく表そうとする工夫を生かしながら，項目の 取り方や並べ方，表題の付け方などについて正しく指導する必要がある。 また，目盛りの付け方，読み方については，ものさしを用いた測定のときの手続き や数直線の目盛りの付け方を生かす指導とも関連して，最小目盛りが１，10，100に 当たるものを中心とし，目的によっては最小目盛りが２，５などに当たるものについ ても，読んだりかいたりできるようにする。 その際，同じグラフを異なる目盛りの付け方で表した複数のグラフを比較したり， 何種類かのグラフ用紙の中から適切な用紙を選択したりする活動を通して，グラフ用 紙の大きさなどに応じて目盛りの付け方を工夫し，目的にあった目盛りを用いること ができるようにする。 〔算数的活動〕(1)オ 日時や場所などの観点から資料を分類整理し，表を用いて表す活動 この活動は，表についての基礎的・基本的な知識及び技能を確実に身に付けること をねらいとしている。この活動は，日時，曜日，時間や場所などの観点から分類の項 目を選び，資料を目的にあった手際のよい方法で，分かりやすく整理することを通し て，表の意味を理解し，表を用いて表すことができるようにするものである。 活動に取り組ませるに当たっては，機械的に処理したり表を考察したりするだけで はなく，児童自身が課題を明確にとらえ，それに沿って資料を積極的に集め，観点を 決めて分類整理していこうとする態度や能力を伸ばすよう配慮することが大切であ --70/162-- - 131 - る。そのためには，資料に落ちや重なりがないか調べたり，集計に当たって誤りがな いか確かめたりするなど，誤りがおきにくいような方法を工夫する活動を重視する必 要がある。その際，合計欄の意味に着目させ，合計の数と資料の数が一致しているか を確かめるなど，表の知識や技能を活用できるように指導する必要がある。 さらに，指導に当たっては，次の点に配慮する。 @ 目的を明らかにし，集める資料の条件を考えたり，目的にあった分類の観点を 選んだりすること。 A 資料に落ちや重なりがないように項目を決めたり， 資料を分類したりすること。 なお，表については，分類の仕方や，表し方に様々な種類があるので，目的に応じ て用いることができるようにすることが大切である。 〔算数的活動〕 ( 1) 内容の「Ａ数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ， 「Ｃ図形」及び「Ｄ数量関係」に示 す事項については，例えば，次のような算数的活動を通して指導するものとす る。 ア 整数，小数及び分数についての計算の意味や計算の仕方を，具体物を用い たり，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 イ 小数や分数を具体物，図，数直線を用いて表し，大きさを比べる活動 ウ 長さ，体積，重さのそれぞれについて単位の関係を調べる活動 エ 二等辺三角形や正三角形を定規とコンパスを用いて作図する活動 オ 日時や場所などの観点から資料を分類整理し，表を用いて表す活動 〔用語・記号〕 等号 不等号 小数点 の位 数直線 分母 分子 ÷ 10 1 --71/162-- - 132 - ４ 第４学年の内容 〔Ａ 数と計算〕 Ａ(1) 整数の表し方 (1) 整数が十進位取り記数法によって表されていることについての理解を深める。 ア 億，兆の単位について知り，十進位取り記数法についてまとめること。 （内容の取扱い） (1) 内容の「Ａ数と計算」の(1)については，大きな数を表す際に，３桁ごとに区切 けた りを用いる場合があることに触れるものとする。 第３学年では，万の単位を含めて，十進位取り記数法について指導している。 第４学年では，億，兆の単位について指導し，十進位取り記数法 についての理解を 深めるようにする。 ア 億，兆の単位 数の範囲が億や兆になると，数の大きさをとらえにくくなるので，指導に当たって は，例えば，国の人口，予算などのような具体的な場面を取り上げるよう配慮するこ とが大切である。 1000万より大きい数の言い表し方は， 1000万の 10倍のときに億と いう単位を取り入れ，さらに， 1000億の 10倍のときに兆という単位を取り入れてい る。このように，我が国の命数法では，一，十，百，千をそのまま繰り返して用い， ４桁ごとに，万，億，兆という新しい単位を取り入れている。このため，少ない単位 で大きな数を唱えたり表したりすることができる。 千百十一 千百十一 千百十一 千百十一 兆億万 --72/162-- - 133 - 整数は，十進位取り記数法によって表されているが，これは，次の事柄を基本的な 原理としているものである。 @ それぞれの単位の個数が 10になると新しい単位に置き換える。 （十進法の考え） A それぞれの単位を異なる記号を用いて表すかわりに，これを位置の違いで示す。 （位取りの考え） この記数法の仕組みによると，どのような大きな数でも，０，１， ２，３，４，５， ６，７，８，９の 10種類の数字で表すことができる。 「内容の取扱い」の( 1)では，数を３桁ごとに区切って表すことについて述べてい る。国の人口や予算などの大きな数を表す際に，３桁ごとに「， 」を用いて区切って 表すことがある。そのように表された数についても読めるよう指導する必要がある。 Ａ(2) 概数と四捨五入 (2) 概数について理解し，目的に応じて用いることができるようにする。 ア 概数が用いられる場合について知ること。 イ 四捨五入について知ること。 ウ 目的に応じて四則計算の結果の見積りをすること。 〔算数的活動〕(1) ア 目的に応じて計算の結果の見積りをし，計算の仕方や結果について適切に判 断する活動 〔用語・記号〕和差積商以上以下未満 （内容の取扱い） (2) 内容の「Ａ数と計算」の(2)のウ，(3)，(4) については，簡単な計算は暗算で --73/162-- - 134 - できるよう配慮するものとする。また，暗算を筆算や見積りに生かすよう配慮す るものとする。 第４学年では，概数の意味を理解し，数を手際よくとらえたり処理したりすること ができるようにするとともに，目的に応じて概数を用いることができるようにするこ とをねらいとしている。概数を用いると大きさがとらえやすくなることや，物事の判 断や処理が容易になること，見通しを立てやすくなることなどのよさに気付くことが できるように指導することが大切である。 概数や四捨五入などの指導において，以上，以下，未満の意味と用語について指導 する。例えば，５以上というと，５と同じか，５より大きいという意味である。４以 下というと，４と同じか，４より小さいという意味である。また， 10未満というと， 10 より小さいという意味である。 また，四則計算の結果について，和，差，積，商という用語を使えるようにする。 ア 概数が用いられる場合 概数を用いる場合としては，次のようなものがあげられる。 @ 詳しい値が分かっていても，目的に応じて数を丸め必要な位にとどめた値を用い る場合。例えば，野球場の入場者数を知らせるとき，約何万何千人などと概数を用 いる。 A 棒グラフを用いて都市の人口を比較するようなとき，棒の長さで人口のおよその 大きさを表すような場合。 B 詳しい値をつきとめることが難しいため，およその値を用いる場合。例えば，現 時点での我が国の人口を表すとき，概数を用いる。 概数を用いるときは，その目的を明確にしながら，用い方を理解できるようにする ことが大切である。日常生活の場面などにおいて概数を用いる場合には，その目的に 応じてどの程度の概数にしたらよいかを判断することが大切である。例えば，グラフ をかく場合，紙の大きさなどにより最小目盛りの大きさは決まってくる。その目盛り の取り方により，何桁にするかを判断できるようにすることが大切である。 イ 四捨五入 --74/162-- - 135 - 四捨五入は，概数を作る場合に，最も広く用いられるものである。その方法は，測 定で端下の数を最も近い目盛りで読み取る考えによっているということができる。こ の四捨五入では，ある単位未満のところを処理する場合に，その単位の一つ下の位の 数が４以下であるか５以上であるかをみるだけでその処理ができる。例えば 42948を 四捨五入して千の位までの概数で表す場合，千の一つ下の位である百の位にある数 「９」を見て，切り上げになると判断し， 43000と表すということである。 ウ 四則計算の結果の見積り ここでは，和，差，積，商を概数で見積もることを指導する。計算の見積りに際し ては，「内容の取扱い」の( 2)にもあるように，暗算を活用する。 和，差，積，商の見積りを行うことは，結果の見通しを立てたり，大きな誤りを防 いだりするために大切である。特に日常生活の場面には，和，差，積，商を概数で見 積もると便利になることが多い。例えば，買い物の場面でも，およそ何円になるかが 分かれば，それに応じた支払いの仕方を考えることができる。ここでは，加法，減法， 乗法，除法を用いる具体的な問題の場面で，目的に応じて和，差，積，商を概数で見 積もることができるよう指導する。 目的に応じて用いるとは，何のために見当を付けるのかそのねらいを明らかにし， ねらいに応じた詳しさの概数にしたり，答えのおよその大きさを判断したりすること である。 積，商の見積りは，除数が２位数の除法における商の見当を付ける場面において重 要な役割を担う。 見積りの指導では，具体的な問題場面に即して何の位までの概数にして計算するか 判断できるようにすることが大切である。その際，形式的な処理のみをさせることの ないよう配慮する必要がある。 〔算数的活動〕 （1)ア 目的に応じて計算の結果の見積りをし，計算の仕方や結果について適切に判断する 活動 この活動は，見積りを生活や学習場面で活用することをねらいとしている。 例えば，遠足の費用一人分が 198円のとき， 97人分で何円になるかという問題を --75/162-- - 136 - 考えてみる。そのとき， 198を約 200，97を約100とみる。そして， 200の100倍か ら，およそ 20000円と見積もることができる。 また，例えば， 225円， 280円， 340円の三つの品物を千円で買えるかどうかを判 断する問題を考えてみる。そのとき，それぞれの値段を 300円， 300円， 400円と大 きめの概数にすると，値段の合計は 300＋300＋400＝1000のように見積もること ができる。大きめの概数にして見積もったのだから，三つの品物の合計金額は千円よ りも安く，したがって千円で買えると判断することができる。 Ａ(3) 整数の除法 (3) 整数の除法についての理解を深め，その計算が確実にできるようにし，それを 適切に用いる能力を伸ばす。 ア 除数が１位数や２位数で被除数が２位数や３位数の場合の計算の仕方を考え， それらの計算が基本的な計算を基にしてできることを理解すること。また，そ の筆算の仕方について理解すること。 イ 除法の計算が確実にでき，それを適切に用いること。 ウ 除法について，被除数，除数，商及び余りの間の関係を調べ，次の式にまと めること。 (被除数）＝（除数）×（商）＋（余り） エ 除法に関して成り立つ性質を調べ，それを計算の仕方を考えたり計算の確か めをしたりすることに生かすこと。 〔用語・記号〕 商 （内容の取扱い） (2) 内容の「Ａ数と計算」の(2)のウ，(3)，(4)については，簡単な計算は暗算でで きるよう配慮するものとする。また，暗算を筆算や見積りに生かすよう配慮する --76/162-- - 137 - ものとする。 (3) 内容の「Ａ数と計算」の(3)のエについては，除数及び被除数に同じ数をかけて も，同じ数で割っても商は変わらないという性質を取り扱うものとする。 第４学年では，整数の除法の筆算での計算の仕方について指導する。 ア 除法の計算の仕方 除法について，第３学年では， 12÷3 ，13÷3 などのような乗法九九を 1 回用い て商を求める計算及び 80÷4，69÷3 のような簡単な２位数を１位数で割る計算を 扱ってきている。 第４学年では，除数が１位数や２位数で被除数が２位数や３位数の除法について考 える。除数が１位数の場合には， 96÷８や962÷４などのような２位数や３位数を １位数で割る場合を取り上げ，筆算形式を導入し，除法の意味と計算の仕方を理解で きるようにする。指導の際には，児童が除法の計算の仕方を主体的に考え，これらの 計算が第３学年で学習した除法の計算を用いて処理できることや，除法の場合には乗 法や減法などの計算が使われていることにも着目できるようにする。例えば， 96÷ ８の計算の場合， 96を90と６に分け， 90÷８を９÷８として計算し，その余り１を 10 に戻し，その 10と６を合わせた数である 16を８で割って答えを求める。この見方は， 筆算の仕方に結び付くものである。 除数が２位数の場合には， 99÷12や567÷24のように２位数，３位数を２位数 で割る計算を指導する。ここでは，計算の手順を形式的に指導すると，児童にとって は理解が困難となる。指導に当たっては，計算の各段階の意味を十分に理解できるよ うにする必要がある。その際，数の相対的な大きさについての理解を除法の計算で使 えるようにする必要がある。また，各段階の商を求める際は，商の見当を付けて進め ることになる。計算の見積り，及び簡単な暗算の力はここで生かされる。なお，見当 を付けた商が大きかったり小さかったりして修正しなければならない場合，見当を付 けた商を修正していく手順を丁寧に取り扱うことは特に重要である。 イ 除法の計算を用いること 除数が１位数や２位数で被除数が２位数や３位数の場合の計算の技能は，確実に身 --77/162-- --77/162-- - 138 - に付け，必要な場面で活用できるようにする必要がある。 例えば， 「96ｍのリボンは， 24ｍのリボンの何倍の長さでしょう。 」などのように 「もとにする量」 ， 「比べる量」から「倍」を求める場合についても除法が活用でき る。さらに， 「黄色のリボンの長さは 72ｍで，白いリボンの長さの４倍です。白いリ ボンの長さは何ｍでしょう。 」のように「比べる量」 ， 「倍」から「もとにする量」を 求めるような場合についても除法が活用できるようにする。 「内容の取扱い」の( 2)では，簡単な暗算について述べている。簡単な暗算として は，48÷2のような，２位数と１位数の乗法の逆の除法などを指導し，児童の過度 の負担とならないようにする。 ウ 被除数，除数，商及び余りの間の関係 余りのある除法については，第３学年で指導している。そこでは，例えば「 30 ÷4 ＝7 あまり2」と表すことを取り扱ってきている。 第４学年では，被除数，除数，商，余りの間の関係を調べ，次のような式の形に表 すことを指導する。 （被除数）＝（除数）×（商）＋（余り） 余りは除数より小さいことに注意する必要がある。また，被除数，除数，商，余り の関係を，計算の確かめなどに用いることができるようにする。 エ 除法について成り立つ性質 「内容の取扱い」の( 3)では， 「除数及び被除数に同じ数をかけても，同じ数で割 っても商は変わらないという性質を取り扱うものとする」と示している。これを式で 表すと次のようになる。 a÷b＝cのとき， （ａ×ｍ）÷（ｂ×ｍ）＝ｃ （ａ÷ｍ）÷（ｂ÷ｍ）＝ｃ こうした除法に関して成り立つ性質を児童が自分で調べていけるようにすることが 大切である。そのために，商が同じになる除法の式をつくる活動を取り入れた指導を する必要がある。その中で，例えば 350÷50の計算は 35÷５として考えることがで きることに児童自らが気付き，ほかにも調べていこうとするようになる。こうした性 --78/162-- - 139 - 質は，小数や分数の除法など，数と計算にかかわるいろいろな場面で活用していくこ とができる。 また，商の見当を付ける際，およその数にして見積もるときにも，除法の性質を用 いていると言える。この除法の性質は，第５学年の小数の除法の計算の仕方を考えた り，第６学年の分数の除法の計算の仕方を考えたりするときにも用いることができる。 なお，除法の性質の指導については，除法が用いられる場面や計算の仕方を見直す 場面などで指導するようにする。 Ａ(4) 整数の計算の能力の定着 (4) 整数の計算の能力を定着させ，それを用いる能力を伸ばす。 （内容の取扱い） (2) 内容の「Ａ数と計算」の(2)のウ，(3)，(4)については，簡単な計算は暗算でで きるよう配慮するものとする。また，暗算を筆算や見積りに生かすよう配慮する ものとする。 整数の四則計算については，第１学年から第４学年に渡って指導してきている。第 ４学年では，整数の四則計算について，計算の能力を定着させ，それを用いる能力を 伸ばすようにする。 整数の計算の能力には，計算の意味を理解することや，計算の仕方を考えることな どが含まれる。数量にかかわる場面において，どんな計算が必要になるかを判断する には，計算の意味の理解が必要である。場面に応じて，計算の仕方を考えたり，適切 な方法を工夫したりできるようにすることも重要である。 計算を用いる能力には，基礎的・基本的な計算の技能に習熟することや，計算を生 活や学習に活用することなどが含まれる。これまでに児童が身に付けてきた計算の技 能は，生活や学習で必要となる計算の基になるものであるし，また，より複雑な計算 を進めるための基になるものでもある。 --79/162-- - 140 - 児童が基礎的・基本的な計算の技能に習熟するとともに，これまでに身に付けてき た計算の意味や計算の仕方などを活用して，桁数の多い計算の仕方を考えることにも 取り組めるようにする。 また，計算を実際の場面と結びつけるようにして，生活や学習に活用できるように することもねらいとしている。 Ａ(5) 小数の仕組みとその計算 (5) 小数とその加法及び減法についての理解を深めるとともに，小数の乗法及び 除法の意味について理解し，それらを用いることができるようにする。 ア 小数が整数と同じ仕組みで表されていることを知るとともに，数の相対的 な大きさについての理解を深めること。 イ 小数の加法及び減法の計算の仕方を考え，それらの計算ができること。 ウ 乗数や除数が整数である場合の小数の乗法及び除法の計算の仕方を考え， それらの計算ができること。 （内容の取扱い） (4) 内容の「A数と計算」の(5)のウについては，整数を整数で割って商が小数 になる場合も含めるものとする。 第４学年では，小数が整数と同じ仕組みで表されていることを指導する。また，計 算については，加法及び減法を指導するとともに，乗法及び除法について，乗数や除 数が整数である場合について指導することにより，小数の理解を深めていくことを主 なねらいとしている。 ア 小数の仕組みと数の相対的な大きさ 第３学年では， の位までの小数を指導してきた。第４学年では， や な 10 1 100 1 1000 1 --80/162-- - 141 - どを単位とした小数を用いることにより， の単位に満たない大きさを表すことが できることを指導する。また，小数は，整数と同じように十進位取り記数法によって いるので，ある位の右の位は の大きさを単位にしており，ある位の左の位は10倍 の大きさを単位にしている。このことを理解するとともに，小数の大小比較や計算も 整数と同じ考え方でできることに気付くことが大切である。なお， の位の代わり に，小数第２位と呼ぶことがある。 また，小数の場合についても，数の相対的な大きさについて理解を深めておくこと が大切である。相対的な大きさは，ある位の単位に着目してその幾つ分とみる見方で ある。例えば，1.68は0.01が168集まった数とみる見方であり，このような見方を養 っておくことは，小数の意味についての理解を深めるばかりでなく，小数の乗法及び 除法の計算の仕方を考える上で有効に働く。 イ 小数の加法，減法 第３学年では， の位までの小数の加法及び減法を指導している。第４学年では， の位までの小数などに範囲を広げて，加法及び減法の計算ができるように指導す る。 小数の加法及び減法の計算は，小数点をそろえて位ごとに計算し，小数の仕組みの 理解の上に立って行うようにし，整数と同じ原理，手順でできることを理解できるよ うに指導する。 小数の計算の仕方は，0.1は の単位が 10個であるから，繰り上がり，繰り下が りのある計算が，これまでの の位までの計算のときと同じようにできる。 例えば， 3.7＋2.48の筆算をするとき， 0.01を基にすると，整数のときと同じ原理 でできる。しかし，位をそろえるのではなく，末尾をそろえて計算する誤答が多くみ られるので，下記のように小数点を基に，位をそろえてかき，空位は０と考えれば， 10 1 10 1 10 1 10 1 100 1 100 1 100 1 --81/162-- - 142 - 位ごとに計算ができる。このように，整数と同じ仕方で計算を行う。 ３．７ ＋２．４８ ６．１８ ウ 乗数や除数が整数の場合の小数の乗法，除法 乗数や除数が整数である場合についての小数の乗法及び除法の計算の指導では，そ の計算の意味を理解できるようにする。乗法は，一つ分の大きさが決まっているとき， その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回か加 える計算と考える。例えば，0.1×3 ならば，0.1＋0.1＋0.1の意味である。累加の簡 単な表現として，乗法による表現を用いることができる。さらに，乗法の意味は，基 準にする大きさとそれに対する割合から，その割合に当たる大きさを求める計算と考 えることができる。除法の意味は，乗法の逆で，割合を求める場合と基準にする大き さを求める場合で説明できる。また，計算の仕方については，乗法における積の小数 点の位置や除法における商の小数点の位置などについて，整数の場合と比べながら学 習できるようにする。例えば，1.2は0.1の12個分であるから，1.2×４の計算では，0. 1が48個分と考えることができる。また，31.6は0.1の316個分であるから，31.6÷４ の計算では，0.1が79個分と考えられる。 なお，「内容の取扱い」の(4)については， 「整数を整数で割って商が小数になる場 合も含めるものとする」と示している。整数を整数で割ると，結果が整数になる場合 とならない場合がある。整数で割り切れないとき，さらに，割り進むことができるこ とを指導する。 Ａ(6) 同分母の分数の加法，減法 (6) 分数についての理解を深めるとともに，同分母の分数の加法及び減法の意味 について理解し，それらを用いることができるようにする。 ア 簡単な場合について，大きさの等しい分数があることに着目すること。 イ 同分母の分数の加法及び減法の計算の仕方を考え，それらの計算ができる こと。 --82/162-- - 143 - 〔用語・記号〕 真分数 仮分数 帯分数 第４学年では，分数の意味や表し方について理解を深めるとともに，同分母の分数 の加法及び減法の意味について理解し，それらの計算ができるようにすることをねら いとしている。 真分数，仮分数，帯分数の意味と用語について指導する。また，真分数をはじめ， 仮分数や帯分数の加法及び減法についても指導する。 真分数とは， ， のように分子が分母より小さい分数のことである。仮分数と は， ， のように分子と分母が等しいか，分子が分母より大きい分数のことであ る。また，帯分数とは， のように整数と真分数を合わせた形の分数のことであ る。 は，１と を加えた分数である。１より大きい仮分数は，帯分数で表すと， その大きさがとらえやすくなる。例えば， は， に直すと，８より少し大きい 数であると分かる。このようにして，分数の大きさについての感覚を豊かにすること が大切である。 分数は，真分数や仮分数で表すと，その計算が進めやすいという場合がある。例え ば，第６学年で指導する分数の乗法及び除法については，帯分数よりも仮分数で表し ておく方が計算を進めやすくなる。 ア 大きさの等しい分数 分数については，例えば と のように，表し方が違っても大きさの等しい分 数がある。第４学年では，簡単な場合について，大きさの等しい分数があることに着 目できるようにする。例えば，数直線上に並べた分数を見て，大きさが等しく表し方 １ ２ ３ ５ ７ ５ １ ２ ５ １ ２ ５ １ ２ ５ 2 25 3 8 1 3 ２ ４ ２ ２ --83/162-- - 144 - の違うものを見付けるようにする。 なお，分母を通分して大小を比較することは，第５学年で指導する。 イ 分数の加法，減法 第３学年では，簡単な場合についての分数の加法及び減法を指導している。 第４学年では，同分母の分数の加法及び減法の計算の仕方を考え，それらの計算が できるようにする。 例えば，真分数と真分数の加法である ＋ の計算では， が７個あるので，結 果は と表すことができる。 仮分数の加法についても同様に考えることができる。例えば， ＋ の計算で は， が13個あるので，結果は ，または と表すことができる。 同様に ＋２ のような帯分数どうしの加法及び減法の計算の仕方を考え，計 算ができるようにする。計算の仕方としては， （１＋２）＋（ ＋ ）のように帯 分数を整数部分と分数部分に分け，整数部分どうし，分数部分どうしを計算した後に 合わせるという考え方と， ＋ のように帯分数を仮分数に直してから計算すると いう考え方がある。 Ａ(7) そろばん (7) そろばんを用いて，加法及び減法の計算ができるようにする。 第３学年では，そろばんによる数の表し方や，整数や小数の加法及び減法の計算の 仕方について指導している。 第４学年では，そろばんの仕組みについての理解を深めるようにする。そろばんで は，十進位取り記数法によって数を表している。整数については，億や兆の単位まで ３ ５ ４ ５ １ ５ ７ ５ １ ５ 1 ３ ５ ５ 3 ７ ５ ５ 6 １ ５ 13 ５ １ ５ ６ ５ 13 ５ ２ ３ ５ --84/162-- - 145 - の数を表すこと，小数については， の位までの数を表すことができるようにする。 計算に関しては，珠の操作による計算の仕方について理解できるようにする。整数 では，２位数などの加法及び減法の計算ができるようにする。また， 「２億＋６億」 ， 「10兆＋ 20兆」などの億や兆の単位を含む簡単な計算ができるようにする。小数で は， 「0.02＋0.85」などの の位までの小数の簡単な加法及び減法の計算ができる ようにする。 〔Ｂ 量と測定〕 Ｂ(1) 面積の単位と測定 ( 1) 面積について単位と測定の意味を理解し，面積を計算によって求めることが できるようにする。 ア 面積の単位（平方センチメートル( cm 2 )，平方メートル( m 2 )，平方キロメ ートル( km 2 )）について知ること。 イ 正方形及び長方形の面積の求め方を考えること。 〔算数的活動〕(1) イ 長方形を組み合わせた図形の面積の求め方を，具体物を用いたり，言葉，数， 式，図を用いたりして考え，説明する活動 ウ 身の回りにあるものの面積を実際に測定する活動 （内容の取扱い） ( 5) 内容の「Ｂ量と測定」の( 1)のアについては，アール( a)，ヘクタール( ha )の 単位についても触れるものとする。 100 1 100 1 --85/162-- - 146 - 第１学年における面積についての学習を踏まえ，第４学年では面積について，単位 と測定の意味を理解し，正方形及び長方形の面積の求め方について考え，それらを用 いることができるようにする。なお，日常語としての広い，狭いという言葉は， 「道 幅が広い（狭い） 」などと用いられることがあり，必ずしも面積の大小を意味してい る訳ではないことに注意する。 また，今までに指導してきた量は，計器を用いて測定してきた。しかし面積は，計 器を用いて測定するのではなく，辺の長さなどを用いて計算によって求めることに注 意する。 ア 面積の単位（cm ２ ，u，ku）と測定 面積の測定については， 長さや液体の体積などの量についての測定の学習と同様に， その大きさを数値化して表すことのよさに気付くようにする。そして，単位とする大 きさを決めると，その幾つ分として面積の大きさが数値化できることを指導する。単 位とする大きさとしては，例えば，一辺の長さが１ cm の正方形の面積などを用いる と便利である。 面積の単位としては ，平方センチメートル( cm 2 )のほかに，平方メートル( m 2 )，平 方キロメートル( km 2 )などを指導する。その際，大きな面積を表す場合に平方メート ル（ m 2 ）や平方キロメートル（ km 2 ）の単位を使うと便利であることが分かるように する。例えば，教室や体育館などの面積を表すとき，平方センチメートルを単位とす ると数値が大きくなり扱いにくくなるので，平方メートルなどの別の単位を用いると よいことなどである。 この内容に関連して，算数的活動として， 身の回りにある面積を調べる活動を行う。 また，資料などを用いて，自分の住んでいる町の面積が何 km 2 であるかを調べる活動 などを通して，面積の大きさについての感覚を豊かにするよう配慮する。 「内容の取扱い」の( 5)では，本内容にかかわって「アール( a )，ヘクタール( ha )の 単位についても触れるものとする」と示されている。アール（ a） ，ヘクタール（ ha） という単位は，社会科など他教科等の学習とも関連する。ここでは，田や畑などの面 積を表す場合に平方メートル （u）を単位とすると数値が大きくなるので，アール( a)， --86/162-- - 147 - ヘクタール( ha )の単位を使うと便利であることが分かるよう配慮する。その際，単位 面積を正方形によって表すとき，次のような関係が成り立っていることに気付かせ， 平方メートルや平方キロメートルとアールやヘクタールの単位の関連についても触れ る。すなわち，１ m 2 ，１a，１ ha，１ km 2 については，それを表す正方形の一辺の長 さが次々に 10倍の大きさになってお り，その面積は，次々に 100倍になっ ているのである。 イ 正方形，長方形の面積の求め方 右のような図形の面積は単位正方形の数を数えると求めることができ る。ここで，左上の単位正方形を左下に移動させると全体が長方形になる が，そのとき面積は，辺の長さを測るだけで計算で求められる。例えば， 右の図のような長方形の面積を求めるには，面積の意味を考えれば，単位の正方形を 敷き詰めてその個数を求めればよい。単位正方形が規則正しく並ん でいるので，乗法を用いると，手際よく個数を求めることができる。 このとき縦や横の長さを，１ cm を単位として測っておけば，その 数値について（縦）×（横） （もしくは（横）×（縦） ）の計算をした結果が，１ cm 2 を単位とした大きさとして表されることになる。このことより， （長方形の面積）＝（縦）×（横） （もしくは（横）×（縦） ） という公式が導かれる。 また，この公式と具体的な図の併用で，長方形の辺の長さが２倍や３倍になるとき の面積の変化を考えさせるなどして，式の観点からの理解を深めたり，図形の周りの 長さと面積との混同を防いだりすることも大切である。 以上のようなことが基になり，第５学年の三角形や平行四辺形などの図形の面積や 直方体や立方体などの体積について，計算によって求めることへと発展する。 〔算数的活動〕(1)イ 長方形を組み合わせた図形の面積の求め方を，具体物を用いたり，言葉，数，式， 図を用いたりして考え，説明する活動 この活動は，図形についての見方を用いて正方形や長方形の面積の公式を活用すれ --87/162-- --87/162-- - 148 - ば，より簡単に面積が求められることを実感させることをねらいとしている。さらに このことから，既習事項を基に，筋道を立てて説明しようとする態度を育てることも ねらいとしている。長方形を組み合わせた図形とは，Ｌ字型，凹字型などの図形のこ とである。 例えば，左下のようなＬ字型の図形の面積の求め方を，言葉，数，式，図を用いた りして考え，説明するとは，次のようなことである。 (あ) (い) (う) (え) この形の面積を求める際には，(あ)のように具体的に方眼をひいて考え， 「１p ２ が幾つあるか数えたら， 24p ２ になる」と説明できる。これは面積の定義に基づく説 明である。また、 （い）のように三つの長方形に分けたり， （う）のように二つの長 方形に分けたりして，それぞれの長方形の面積を計算により求めてから合わせると考 え，説明できる。さらに、 （え）のように，大きな長方形の面積から斜線部分の長方 形の面積を引くと考え，説明できる。 〔算数的活動〕(1)ウ 身の回りにあるものの面積を実際に測定する活動 この活動は，面積を求めたり，様々な場面で単位を用いたりすることを通して，実 感を伴って単位の大きさを理解したり，面積の求め方をより確実に理解したりするこ とをねらいとしている。また，この活動を行うことで，面積を学習した意義を実感す ることもねらいとしている。 計算の上では，１ m ２ ＝10000 cm ２ であると分かっていても，長さの単位換算での 経験から類推して，１ m ２ ＝100 cm ２ と誤ってしまう児童もいる。これは 100p ２ と いう面積の大きさについての感覚が身につき，１ m ２ という面積の意味が理解できて いれば防げることである。そこで，身の回りにある正方形や長方形の面積を実際に調 べる活動が有効になる。調べる対象は，児童の使っている折り紙，机の面，教室の床， 花壇，体育館などである。活動に取り組むときは，児童の実態に合わせて目的意識を --88/162-- - 149 - もたせ，例えば教室と図書室の面積の違いを調べることなどを通して，面積の学習が 日常生活に役立つものであることを実感させるようにする。 Ｂ(2) 角の大きさ ( 2) 角の大きさについて単位と測定の意味を理解し，角の大きさの測定ができる ようにする。 ア 角の大きさを回転の大きさとしてとらえること。 イ 角の大きさの単位（度(°)）について知ること。 「C図形」領域では，第２学年で直角の形を指導し，また第３学年では，二等辺三 角形などにかかわって，角の大きさが同じであることに着目している。 第４学年では，角の大きさを回転の大きさとしてとらえ，それを測定する単位とし て「度（゜） 」を用いることを指導する。 ア 回転の大きさ 一つの頂点から出る２本の辺が作る形を角という。頂点を中心にして１本の辺を回 転させたとき，その回転の大きさを，角の大きさという。角の大きさは，辺の開き具 合とみられる。このような角の大きさについて指導する。 二つの角の大きさは，直接に重ねることで大小を比べることができる。また，角の大 きさは，辺の長さに関係しないことに注意する必要がある。 イ 角の大きさの単位 角の大きさの単位として，度（゜）について指導する。直角の大きさが 90ﾟである ことや， 1 回転した大きさが 360ﾟであることなどを指導する。 また，分度器を用いて角の大きさを測定したり，必要な大きさの角を作ったりする ことができるようにする。 --89/162-- - 150 - さらに，直角を基にして，角の大きさが 90ﾟより大きいかどうかを判断するなど， 角の大きさについての感覚を身に付けるようにする。 〔Ｃ 図 形〕 Ｃ(1) 平行四辺形，ひし形，台形 (1) 図形についての観察や構成などの活動を通して，図形の構成要素及びそれらの位 置関係に着目し，図形についての理解を深める。 ア 直線の平行や垂直の関係について理解すること。 イ 平行四辺形，ひし形，台形について知ること。 〔算数的活動〕(1) エ 平行四辺形，ひし形，台形で平面を敷き詰めて，図形の性質を調べる活動 〔用語・記号〕 平行 垂直 対角線 第４学年では，図形の構成要素である直線の平行や垂直の関係について指導する。 また，平行四辺形，ひし形，台形について指導する。 ア 直線の平行や垂直の関係 第２学年で正方形，長方形について指導している。児童は，正方形，長方形を観察 したり構成したりする活動を行ってきているので，二つの直線の平行や垂直について の理解の基礎となる経験をしてきている。 ２本の直線の平行については， 「二つの直線がどこまでいっても交わらないとき， この二つの直線は平行であるという」と約束することができる。しかし「どこまでい っても」という表現やその意味が，児童にとって分かりにくい場合がある。そこで， 次のように，はじめに垂直の関係について約束し，その上で，平行の関係について約 --90/162-- - 151 - 束するという方法がある。 @ 二つの直線が直角に交わっているとき，この二つの直線は垂直であるという。 A 一つの直線に垂直な二つの直線があるとき，この二つの直線は平行であるとい う。 ＜垂直な二直線の図＞ ＜平行な二直線の図＞ 児童の身の回りにある具体物などを観察して，平行な二直線や，垂直な二直線を見 付けるような活動を取り入れるとよい。また，棒などの具体物を用いて，平行または 垂直な二直線を実際に作ってみる活動や，２枚の三角定規を用いて，平行または垂直 な二直線を作図する活動を取り入れるようにするとよい。さらに，平行四辺形やひし 形などの図形の考察において，向かい合う辺の関係や対角線の交わり方について調べ たり，確かめたりすることにより理解を深めることができるようにする。 上のAのように，平行の関係について約束するとき， 「平行な二つの直線は，どこ までいっても交わらない」ことは，平行な二直線の性質である。また， 「平行な二つ の直線の幅は，どこでも等しい」ことも，平行な二直線の性質である。 垂直とは，二直線の位置関係を表すものであり，形としての直角とは異なることに 注意する必要がある。 イ 平行四辺形，ひし形，台形 直線の位置関係や辺の長さに着目することで，次のように四角形の特徴をとらえ， 分類整理することができる。 向かい合った二組の辺が平行な四角形を平行四辺形という。 四つの辺の長さが等しい四角形をひし形という。 --91/162-- - 152 - 向かい合った一組の辺が平行な四角形を台形という。 こうした四角形の名称を知り，使えるようにする。そして，平行四辺形，ひし形， 台形について理解するためには，いろいろな四角形を構成し，それらを観察すること を通して共通の性質をもつ図形に分類したり，それぞれの図形の性質について調べた り，図形の約束や性質に基づいて作図したり，弁別したりする活動に取り組むことが 大切である。また，身の回りから，平行四辺形，ひし形，台形の形をした具体物を見 付ける指導をする。 対角線の意味と用語について指導する。四角形の対角線とは，向かい合う頂点を結 んでできる直線である。 平行四辺形には，向かい合う辺の長さが等しい，向かい合う角の大きさが等しいな どの性質がある。また，２本の対角線が互いに二等分されるという性質がある。こう した性質は，平行四辺形を対角線で切って，幾つかの三角形に分け，その三角形を重 ね合わせるなどの活動によって確かめることができる。 ひし形には， 二組の向かい合う角がそれぞれ等しいという性質がある。この性質は， ひし形をかいて切り抜き，折り重ねるなどの活動によって確かめることができる。ま た，ひし形については，２本の対角線が互いに垂直に交わることや，互いに二等分さ れていることにも着目できるようにする。さらに，ひし形について，平行四辺形の性 質をすべて備えている四角形であることに着目することを指導する。 〔算数的活動〕(1)エ 平行四辺形，ひし形，台形で平面を敷き詰めて，図形の性質を調べる活動 この活動は，図形の構成要素及びそれらの位置関係に着目し，図形についての実感 的な理解を深めることをねらいとしている。 この活動は，平行四辺形，ひし形，台形によって平面を敷き詰めることができるこ とを確かめ，敷き詰めた図形の中にほかの図形を認めたり，平行線の性質に気付いた りするなど，図形についての見方や感覚を豊かにすることをねらいとしている。 --92/162-- - 153 - アエ アエウ イアエ イウエアイウ イウ ウイアエウイ エアイ ウエア 例えば，台形アイウエによって平面を敷き詰めると上のようになり，台形で平面を 敷き詰められることが確かめられる。そして，その中に平行四辺形を認めることがで きる。また，角アと角イの大きさを合わせたり，角ウと角エの大きさを合わせたりす ると，どちらも 180゜であることに気付くことができる。 さらに，敷き詰めた形に色を塗ったり，それに様々なデザインを工夫したりするこ とにより，図形の美しさに触れていくことができる。 Ｃ(2) 立方体，直方体などの立体図形 (2) 図形についての観察や構成などの活動を通して，立体図形について理解できるよ うにする。 ア 立方体，直方体について知ること。 イ 直方体に関連して，直線や平面の平行や垂直の関係について理解すること。 〔用語・記号〕 平面 （内容の取扱い） ( 6) 内容の「Ｃ図形」の( 2 )のアについては，見取図や展開図をかくことを取り 扱うものとする。 --93/162-- - 154 - 第２学年では，箱の形をしたものを観察したり，構成したりして立体図形の構成要 素に着目することを指導してきている。第４学年では，立方体，直方体について知り， 立体図形について理解することをねらいとしている。また，直方体に関連して，直線 や平面の平行及び垂直の関係について理解できるようにするとともに，図形を観察し たり，構成したり，分解したりすることを通して図形についての見方を豊かにしてい くようにする。 なお，〔用語・記号〕では，平面という用語を示している。この用語を用いて説明 したり，表現したりできるようにすることが大切である。 ア 立方体，直方体 立方体は，六つの正方形で囲まれた立体図形である。また直方体は，六つの長方形 で囲まれた立体図形である。 〔立方体〕 〔直方体〕 立方体や直方体については，辺，面，頂点などの構成要素の個数や面の形，辺や面 の平行，垂直の関係などに着目し，これらの特徴を明確につかみ，図形を構成したり 分解したりして理解することを指導する。 また，「内容の取扱い」の( 6 )で，立方体，直方体の内容にかかわって， 「見取図や 展開図をかくことを取り扱うものとする」と示している。これは立方体や直方体を見 取図や展開図で表すことを通して，辺や面のつながり，それらの位置関係などについ て理解できるようにするというねらいがあるからである。 見取図や展開図は，立体図形を平面上に表現するための方法である。このことのよ さが分かるように指導することが大切である。その際，平面図形との関連にも配慮し， 例えば，一つの立体図形から，一通りではなく幾つかの展開図をかくことができるこ とや，展開図からできあがる立体図形を想像できるようにすることが大切である。 --94/162-- - 155 - イ 直線，平面の平行や垂直の関係 直方体に関連して， 直線や平面の平行や垂直の関係について理解できるようにする。 直方体の辺や面については，向かい合う面は平行になることや隣り合う面は垂直にな ること， 12本の辺のうち４本ずつ三組の辺がそれぞれ平行になることや一つの辺が 二つの面に垂直であること，また一つの頂点に集まる三つの辺が互いに垂直であるこ とについて，観察したり，構成したり，分解したりする活動を通して理解できるよう にすることが大切である。 Ｃ(3) ものの位置の表し方 (3) ものの位置の表し方について理解できるようにする。 ものの位置については，第１学年で前後，左右，上下などの言葉で表すことについ て指導している。 第４学年では，平面の上にあるものの位置や，空間の中にあるものの位置の表し方 について理解できるようにする。 平面の上にあるものの位置を表すには，横と縦の二つの要素が必要になる。体育館 の床に旗を置く場合，体育館の四隅の一点を基にして，横に３ｍ，縦に４ｍ進むこと を，例えば(横３ｍ，縦４ｍ)のように表すことができる。 また，空間の中にあるものの位置を表すには，横，縦，高さの三つの要素が必要に なる。教室を直方体と考えれば，天井からつり下げた飾りが，床の四隅の一点を基に して，縦に３ｍ，横に４ｍ，高さ２ｍの位置にある場合，例えば（縦３ｍ，横４ｍ， 高さ２ｍ）のようにして表すことができる。 〔Ｄ 数量関係〕 Ｄ(1) 伴って変わる二つの数量 ( 1) 伴って変わる二つの数量の関係を表したり調べたりすることができるように する。 --95/162-- - 156 - ア 変化の様子を折れ線グラフを用いて表したり，変化の特徴を読み取ったり すること。 〔算数的活動〕(1) オ 身の回りから，伴って変わる二つの数量を見付け，数量の関係を表やグラフを 用いて表し，調べる活動 第４学年では，具体的な場面において，伴って変わる二つの数量があることに着目 し，それらの関係を表やグラフを用いて表し，関係を明らかにする能力を伸ばしてい くことをねらいとしている。 ア 変化の様子と折れ線グラフ 第４学年では，表を作り，折れ線グラフを用いて関数的な関係を表したり，折れ線 グラフから関数的な関係にある二つの数量の変化の特徴を読み取ったりすることがで きるようにする。これらの指導により，関数の考えを伸ばしていくようにする。 変化の様子を折れ線グラフを用いて表すとは，関数的な関係にある二つの数量につ いて，一方をグラフの横軸に，もう一方をグラフの縦軸に取って，伴って変わる数量 の組をグラフ上に点で示し，その点と点をつなぐことによって，部分の変化や全体の 変化の様子を視覚的に示すことである。 また，折れ線グラフから変化の特徴を読み取るとは，一方の数量が増加するときの 他方の数量の増減の様子を視覚的にとらえ，二つの変化する数量の間にある関係を明 確にすることである。そのためには，各部分の折れ線の傾きから数量の増減の様子を とらえることが必要となる。 〔算数的活動〕(1)オ 身の回りから，伴って変わる二つの数量を見付け，数量の関係を表やグラフを用い て表し，調べる活動 この活動は，身の回りから，伴って変わる二つの数量を見いだし，それを表や折れ 線グラフなどを用いて表し，二つの数量の間にある関係を調べるなど，表やグラフを --96/162-- - 157 - 活用できるようにするものである。 数量や図形に関する問題を解決するときに，求めるものは他のどんなものと関係が あるか，何が決まれば他のものが決まってくるかというように，求めるものと他のも のとを関連付けてみる見方が大切である。 そして，二つの変化する数量の間にある関係を明確にすることが必要である。その ためには，対応する値の組を幾つも求め，順序よく表などに整理したり，グラフを用 いて表したりして関係を調べる活動を指導する。 こうした活動を通して，関数の考えや統計的な見方を伸ばすとともに，そのよさや 有用性を実感させ，進んで生活や学習に生かそうとする態度を養うよう配慮すること が大切である。 Ｄ(2) 数量の関係を表す式 ( 2) 数量の関係を表す式について理解し，式を用いることができるようにする。 ア 四則の混合した式や（ ）を用いた式について理解し，正しく計算するこ と。 イ 公式についての考え方を理解し，公式を用いること。 ウ 数量を□，△などを用いて表し，その関係を式に表したり，□，△などに 数を当てはめて調べたりすること。 第３学年までに，加法，減法，乗法，除法について，式を用いて表したり，式を読 み取ったりすることを指導している。それを基に，四則の混合した式や（ ）を用い た式について理解すること， 数量の関係を一般的にとらえ公式にまとめて用いること， □や△などを用いて数量の関係を式に表すことが主な内容となる。 第４学年では，数量の関係を式に表したり，式を読み取ったりする力を伸ばすとと もに，計算の順序についてのきまりなどを理解し，適切に式を用いることができるよ うにすること，さらに，既習の式と，具体的な場面での立式などを基に，公式につい ての考え方を身に付けさせることをねらいとしている。 --97/162-- --97/162-- - 158 - ア 四則の混合した式や（ ）を用いた式 第４学年では，単に式の計算に慣れさせるだけでなく，数量の関係を四則の混合し た式や， （ ）を用いた式に表したり，そのような式を読み取ったりして，式のよさ が分かるようにするとともに，式を適切に用いることができるようにすることをねら いとしている。 四則の混合した式や（ ）を用いた式は，前学年までにも指導してきているが，一 つの数量を表すのに（ ）を用いることや乗法，除法を用いて表された式が一つの数 量を表したりすることを確実に理解できるようにすることが主なねらいである。この ことについて，いろいろな場面や問題で式に表したり，式から場面や一般的な関係を 読み取ったりすることを通して，理解できるようにしていく。 指導に際して，乗法，除法を加法，減法より先に計算すること， （ ）の中を先に 計算することなどのきまりがあることを理解できるようにし，習熟を図る。さらに， 四則を混合させたり（ ）を用いたりして一つの式に表すことには，数量の関係を簡 潔に表すことができるなどのよさがあることが分かるようにし，四則を混合させたり （ ）を用いたりして一つの式に表すことができるようにすることが大切である。 イ公式 第４学年では，具体的な数量の関係を公式の形にまとめることについて，数量の関 係を式に表したり，その式を読み取ったり用いたりすることができるようにするとと もに，ほかの場面でも使えるなど公式のよさが分かるようにする。 第４学年で取り扱う公式とは，一般に公式と呼ばれるものだけに限らず，具体的な 問題で立式するときに自然に使っているような一般的な関係を言葉でまとめて式で表 したものも指している。公式については，数量を言葉で表しているということの理解 と，言葉で表されているものにはいろいろな数が当てはまるということの理解が大切 である。 公式については，幾つもの数量の組を作って，数量と数量の間に共通するきまりや 関係を見付け出し，それを一般化させて言葉を用いて表し，公式をつくり上げていく 過程を大切にする必要がある。 また，公式が一般的な数量関係を表していることを理解させるためには，具体的な --98/162-- - 159 - 場面で，式で表しているものにいろいろな数を当てはめていく活動を大切にする必要 がある。さらに，公式を用いて数量の関係を表したり，具体的な問題場面を読み取っ たりする活動が重要である。これらの活動を通して，数量の関係を一般的にとらえる ことができるという公式のよさが分かるよう配慮する。 公式としては，第４学年では面積の公式が取り上げられている。例えば， （長方形 の面積）＝（縦）×（横）の公式を導いていくような一般化の考えは，数学や様々な 分野でよく使われる大切な考えである。公式は，どんな数値に対しても成り立つ一般 的な関係であることを理解できるようにする。そして， （縦）と（横）から（面積） が求められるという見方に加えて， （面積）と（横）から（縦）を求めることもでき るというような，公式の見方ができるようにすることも大切である。 ウ □，△などを用いた式 第３学年では，未知の数量を表す記号などとして□を用いることや，□を用いて式 に表すことを指導している。 第４学年では，これまでの理解を基に，変量を表す記号として□，△などを用いた 式を適切に用いることができるようにすることをねらいとしている。 第４学年で，□，△などを用いた式を取り扱う場合としては，例えば，正方形の一 辺の長さと周の長さの間の関係を□×４＝△と一般的に表す場合が考えられる。この ように変量を□，△などを用いて式に表すと数量の関係を簡潔に表すことができる。 指導に当たっては，□，△などの記号にはいろいろな数が当てはまり，□，△の一 方の大きさが決まれば，それに伴って，他方の大きさが決まることについての理解が 深まるよう配慮する必要がある。 また，□，△などを用いた式は，四則に関して成り立つ性質についてまとめたり説 明したりする場合にも活用できる。その際，□，△など２種類以上の記号を同じ式の 中で用いる場合には， 「同じ記号には，同じ数を入れる」と約束することについて知 らせておくことが必要である。そして，□，△などの記号を用いると，数量の関係や 計算の法則を簡潔，明瞭，的確に，また，一般的に表すことができるというよさに気 付くことができるよう配慮することが大切である。 --99/162-- - 160 - Ｄ(3) 四則に関して成り立つ性質 ( 3) 四則に関して成り立つ性質についての理解を深める。 ア 交換法則，結合法則，分配法則についてまとめること。 第３学年までに，加法や乗法の計算の仕方を考えたり計算の確かめをしたりするこ との指導を通して，具体的な場面において，交換法則，結合法則，分配法則が成り立 つことについて理解させてきている。 第４学年では，これまでに指導してきた数と計算の範囲において，四則に関して成 り立つ性質について整理し，必要に応じて活用できるようにする。 ア 交換法則，結合法則，分配法則 交換法則，結合法則，分配法則とは，次の式で表される法則である。 （交換法則） （分配法則） □＋△ ＝ △＋□ □×（△＋○） ＝ □×△ ＋ □×○ □×△ ＝ △×□ □×（△−○） ＝ □×△ − □×○ （結合法則） （□＋△）×○ ＝ □×○ ＋ △×○ □＋（△＋○） ＝ （□＋△）＋○ （□−△）×○ ＝ □×○ − △×○ □×（△×○） ＝ （□×△）×○ 第４学年では，整数の計算に関して，交換法則，結合法則，分配法則を活用して計 算を簡単に行う工夫をしたり， 乗法の筆算形式の中に分配法則を見付けたりするなど， 四則に関して成り立つ性質についての理解を深め，必要に応じて活用できるようにす る。また，整数において成り立つ性質が，これまでに指導した小数の計算に関しても 成り立つことを確かめられるようにする。 Ｄ(4) 資料の分類整理 ( 4) 目的に応じて資料を集めて分類整理し，表やグラフを用いて分かりやすく表 したり，特徴を調べたりすることができるようにする。 ア 資料を二つの観点から分類整理して特徴を調べること。 --100/162-- - 161 - イ 折れ線グラフの読み方やかき方について知ること。 （内容の取扱い） ( 7) 内容の「Ｄ数量関係」の( 4)のアについては，資料を調べるときに，落ちや 重なりがないようにすることを取り扱うものとする。 第４学年では，目的に応じて資料を集め，その資料を分類整理し，特徴や傾向をと らえる能力を伸ばすことをねらいとしている。 ア 二つの観点から分類整理すること 第４学年では，資料を二つの観点から分類整理して表を用いて表すことができるよ うにする。 資料を集めて分類整理するに当たって，目的に応じ，ある観点から起こり得る場合 を分類して，項目を決めることが必要である。例えば，Ａ，Ｂの二つの観点から資料 を調べるとき，Ａから見て資料は「性質ａをもっている」と「性質ａをもっていない」 の場合が考えられ，またＢから見て資料は「性質ｂをもっている」と「性質ｂをもっ ていない」の場合が考えられる。そのとき，これらを組み合わせると，資料 について Ａ，Ｂ二つの観点から見て，四つの場合が考えられる。 このように，二つの観点から，物事を分類整理したり，論理的に起こり得る場合を 調べたり，落ちや重なりがないように考えたりすることが大切である。 なお，第４学年の「内容の取扱い」の( 7 )では， 「資料を調べるときに，落ちや重 なりがないようにすることを取り扱うものとする」と示している。ここで取り扱う落 ちや重なりがないようにすることについては，資料の読み飛ばしのないように順序よ く数えること，あらかじめ起こり得る場合を整理すること，重複して数えることがな いように数えた資料に色や印を付けることなど，数え間違いをなくす方法を具体的に 指導する必要がある。その際，正しい結果が得られるように間違いをなくしていこう とする態度を養うよう配慮する必要がある。 --101/162-- - 162 - イ 折れ線グラフの読み方とかき方 第４学年では，Ｄ( 1)で述べたように関数的な関係を表すことに関しても折れ線グ ラフを指導するが，ここでは，資料を目的に応じて折れ線グラフを用いて表したり， それを読み取ったり調べたりすることをねらいとしている。 指導に当たっては，折れ線グラフについて，紙面の大きさや目的に応じて，適切な 一目盛りの大きさやグラフ全体の大きさを決めることができるようにする。その際， 同じグラフであっても，折れ線グラフの縦軸の幅を変えることなどによって，見え方 が異なることに気付かせるようにする。 〔算数的活動〕 ( 1) 内容の「Ａ数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ， 「Ｃ図形」及び「Ｄ数量関係」に示 す事項については，例えば，次のような算数的活動を通して指導するものとす る。 ア 目的に応じて計算の結果の見積りをし，計算の仕方や結果について適切に 判断する活動 イ 長方形を組み合わせた図形の面積の求め方を，具体物を用いたり，言葉， 数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 ウ 身の回りにあるものの面積を実際に測定する活動 エ 平行四辺形，ひし形，台形で平面を敷き詰めて，図形の性質を調べる活動 オ 身の回りから，伴って変わる二つの数量を見付け，数量の関係を表やグラ フを用いて表し，調べる活動 〔用語・記号〕 和差積商以上以下未満真分数仮分数帯分数平行垂直 対角線 平面 --102/162-- - 163 - ５ 第５学年の内容 〔Ａ 数と計算〕 Ａ(1) 整数の性質 (1) 整数の性質についての理解を深める。 ア 整数は，観点を決めると偶数，奇数に類別されることを知ること。 イ 約数，倍数について知ること。 〔用語・記号〕 最大公約数 最小公倍数 （内容の取扱い） (1) 内容の「Ａ数と計算」の(1)のイについては，最大公約数や最小公約数を形式的 に求めることに偏ることなく，具体的な場面に即して取り扱うものとする。また， 約数を調べる過程で素数について触れるものとする。 第５学年では，偶数，奇数について，また約数，倍数について指導し，整数の性質 についての理解を深めるようにする。 ア 偶数，奇数 整数を２で割ると，余りは０か１になる。２で割ったときに余りが０になる整数を 偶数といい，余りが１になる整数を奇数という。 このように，整数は，偶数または奇数の２種類に類別される。すべての整数の集ま りは，偶数の集まりと奇数の集まりに類別されるということである。 身の回りの生活や学習の場面においても，偶数，奇数を活用できることがある。例 えば，学級の児童を二つのグループに分けようとするとき，出席番号を２で割って， --103/162-- - 164 - 割り切れるかどうかという観点を決めると，すべての児童が，どちらかのグループに 必ず入ることができる。 イ 約数，倍数 約数や倍数の意味を指導するとともに，ある数の約数や倍数の全体をそれぞれ一つ の集合としてとらえられるようにすることをねらいとしている。 二つの整数の公約数や公倍数の集合は，それぞれの整数の約数や倍数からなる集合 の共通な要素からなるものである。例えば，８の約数は｛１， ２，４，８｝であり，12 の約数は｛１，２，３，４，６， 12｝である。これから，８と 12の公約数は｛１， ２，４｝となる。最大公約数は，公約数の中で最大の数であるから，４であることが 分かる。 また，８の倍数は｛８， 16，24，32，…｝であり， 12の倍数は｛ 12，24，36，…｝ である。これから，８と 12の公倍数は｛ 24，48，72，…｝となる。最小公倍数は， 公倍数の中で最小の数であるから， 24であることが分かる。 この約数，倍数の考え方を日常生活の場面で実際に使ってみることによって，整 数の性質についての理解を深めるようにする。 「内容の取扱い」の( 1)では，最大公約数や最小公倍数の取扱いについて述べてい る。これらについては，具体的な場面に即して指導し，特に意味の理解を図るように することが大切である。また，素数については，整数の中には１とその数以外には約 数がない整数もあることに気付くことにより，整数の見方，数についての感覚をより 豊かにすることをねらいとする。 Ａ(2) 整数，小数の記数法 ( 2) 記数法の考えを通して整数及び小数についての理解を深め，それを計算など に有効に用いることができるようにする。 ア10倍，100倍， ， などの大きさの数をつくり，それらの関係を調べ ること。 10 1 100 1 --104/162-- - 165 - 第５学年では，整数と小数がともに十進位取り記数法によって表されているという 観点に立って，十進数としての特徴をまとめて理解できるようにし，それを計算など に能率よく用いることができるようにすることをねらいとしている。 ア 10 倍，100 倍， ， などの大きさ 十進位取り記数法の特徴についてまとめるとき，小数点の位置を移動して， 10倍， 100 倍， ， などの大きさの数をつくることを指導する。十進数では，小数点が１桁 右に移ると 10倍の大きさを表し，１桁左へ移ると の大きさを表す。そこで， 10倍， 100倍， ， などの大きさの数は，小数点の移動などによってつくることができ る。整数，小数の乗法及び除法の計算には，この考え方が実質的には活用されるが， 概算などに際してもこの考え方が十分用いられるように指導することが必要である。 必要に応じて， 1000倍， の大きさの数もつくる。 こうした数の大きさの関係を調べる際には，形式的な操作のみを行うのではなく， 数の大きさや数の構成についての感覚を豊かにするよう配慮することが大切である。 Ａ(3) 小数の乗法，除法 ( 3) 小数の乗法及び除法の意味についての理解を深め，それらを用いることがで きるようにする。 ア 乗数や除数が整数である場合の計算の考え方を基にして，乗数や除数が小 数である場合の乗法及び除法の意味について理解すること。 イ 小数の乗法及び除法の計算の仕方を考え，それらの計算ができること。ま た，余りの大きさについて理解すること。 ウ 小数の乗法及び除法についても，整数の場合と同じ関係や法則が成り立つ ことを理解すること。 10 1 10 1 10 1 100 1 100 1 1000 1 10 1 100 1 --105/162-- - 166 - 〔算数的活動〕( 1 ) ア 小数についての計算の意味や計算の仕方を，言葉，数，式，図，数直線を 用いて考え，説明する活動 第５学年では，乗数，除数が小数の場合にも乗法や除法が用いられるように意味を 広げることをねらいとしている。その際に，整数の場合の計算の意味や計算の仕方を 基にして，新しい計算の仕方をつくることができるようにすることが大切である。計 算の範囲としては， の位までの小数や の位までの小数などを指導する ア 小数の乗法，除法の意味 小数の乗法の意味 整数の乗法については， 「一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かを 求める」 ， 「何倍かに当たる大きさを求めたりする」などの場合に用いる。 第５学年では，乗法を乗数が小数の場合にも用いることができるようにしたり，除 法との関係も考えて，より広い場面や意味に用いることができるようにしたりして一 般化していく。その際，数量関係を表している文脈が同じときには，整数の場合に成 り立つ式の形は，小数の場合にもそのまま使えるようにする。 例えば，１メートルの長さが 80円の布を２メートル買ったときの代金は， 80×２ という式で表せる。同じように， 「１メートルの長さが 80円の布を 2.5メートル買っ たときの代金が何円になるか」という場合，布の長さが 2.5倍になっているので，代 金も2.5倍になるということから， 80 ×2.5という式で表せる。 こうしたことから，整数や小数の乗法の （１＜ P のとき） ０BB×P (量) 意味は， Bを「基準にする大きさ」 ，P を 「割合」 ，Aを「割合に当たる大きさ」と ０１P (割合) するとき， B ×P ＝Aと表せる。 （ P ＜１のとき） ０B ×PB（量） 数直線を用いることによって乗数 P が １より小さい場合，積は被乗数 Bより小 ０P１ (割合) 10 1 100 1 --106/162-- - 167 - さくなることも説明できる。 小数の除法の意味 除法の意味としては，乗法の逆として割合を求める場合と，基準にする大きさを求 める場合とがある。 Bを「基準にする大きさ」 ，Pを「割合」 ，Aを「割合に当たる大きさ」とすると， 次のような二つの場合である。 @P ＝A÷B これは， AはBの何倍であるかを求める考えであり，除法の意味としては， P が整 数の場合には，いわゆる包含除の考えに当たる。例えば， 「９メートルの赤いリボン は，1.8メートルの青いリボンの何倍になるか」という場合である。式は， 9 ÷1.8 となる。 AB ＝A÷P これは，基準にする大きさを求める考えであり，除法の意味としては， Pが整数の 場合には，いわゆる等分除の考えに当たる。例えば， 「2.5メートルで 200円の布は， １メートルではいくらになるか」という場合である。式は， 200÷2.5となる。 これらの式は， BやP が整数の場合だけでなく，小数の場合にもそのまま当てはま ると考えていくことが大切である。このとき，多くの児童にとっては，@の場合に比 べ，Aの方がとらえにくい。つまり，整数の場合は， P等分した一つ分の大きさを求 めるという説明で，１に当たる大きさであることが理解できたが，除数が小数の場合， 1に当たる大きき(基準にする大きさ)を求めているという見方に一般化するのに難し さがある。この点については，公式や言葉の式だけでなく，数直線や図などを用いた り具体的な場面に当てはめてりして分かりやすくすることが大切である。また，はじ めに乗法の式に表してから，除法で求めるという考えを用いることも大切である。 なお，除数と商の大きさの関係については，除数が１より小さいとき，理解が困難 になる児童が多くみられる。数直線を用いるなどして，除数が１より小さいとき，商 が被除数よりも大きくなる理由について説明できるようにする。 イ 小数の乗法，除法の計算 --107/162-- --107/162-- - 168 - 小数は，整数と同じ十進位取り記数法で表現されているから， 乗法や除法の計算は， 単位，すなわち小数点の位置に着目してこれを移動し，整数に置き換えれば，整数の 計算と同様な考え方で積や商を求めることができる。十進位取り記数法の仕組みが計 算にも有効に生かされていることに気付くよう指導することが大切である。 小数の乗法や除法の計算の仕方は，次のウで述べる計算の性質を用いて，整数の乗 法や除法に直して考えることができる。 小数の乗法については，乗数を 10倍すると積も 10倍になることなどの計算の性質 を生かして，児童が既習の整数の乗法に直して考えられるようにする。例えば， 12×4.3の計算は， 12×（4.3×10）÷10＝12×43÷10と考えることができる。 また，12×0.43の計算は， 12×（ 0.43×100）÷ 100=12×43÷100と考えることが できる。 小数の除法については， 「除法の計算で，除数と被除数に同じ数をかけても商は変 わらない」という計算の性質を生かして，計算の仕方を考えられるようにする。例え ば，7.2÷2.4の計算は，(7.2×10)÷( 2.4×10）＝ 72÷24と考えることができる。 また、0.1÷0.04の計算は，( 0.1×100)÷(0.04×100)=10 ÷4 と考えることができ る。 なお，小数を割る計算の場面で，被除数の最小の位で割り切れないときは，割り進 むことができることを指導する。例えば， 0.5÷0.4＝1.25となる。 また，小数の除法で余りのある場合は，余りの小数点の位置に誤りが多いので注意 を要する。その際には，余りが表す大きさの意味を考えさせ，余りは除数より小さい ことや， （被除数）＝（除数）×（商）＋（余り）の式に当てはめて，商，除数，余 りの大きさの関係をとらえることなどについて指導する。 ウ 小数の乗法，除法に関して成り立つ性質 整数の乗法及び除法に関して成り立つ関係や法則が，小数の場合でも成り立つこと を確かめるようにする。 例えば， 30× 2.5と30×2 ＋30×0.5をそれぞれ計算すると結果は等しくなる。 一般に，小数の場合でも，□×（△＋○）＝□×△＋□×○ という分配法則が成り 立つことが分かる。 --108/162-- - 169 - こうした計算の性質を活用して，計算の仕方を考えたり，計算の結果を確かめたり できるようにすることが大切である。 〔算数的活動〕 （1)ア 小数についての計算の意味や計算の仕方を，言葉，数，式，図，数直線を用いて考 え，説明する活動 この活動は，既習の内容を根拠に自分の考えを数学的に表現したり，よりよい考え やより分かりやすい考えに高め合ったりすることをねらいとしている。これは，小数 についての乗法や除法の意味と計算の仕方を既習の乗法や除法の考え方を根拠に言葉 や数直線などで説明することである。 小数の乗法では，乗数が小数の場合にも用いることができるように意味の拡張を図 る。例えば， 120×2.5の意味を考えるとき， 下のような数直線を用いて表したり， 「120 を１とみたとき， 2.5に当たる大きさ」と言葉で表したり，公式や言葉の式を利用し たりして，乗法の意味を説明することになる。 ０120 120×2 120×2.5 120×３ （量） ０１２2.5３ （割合） また，計算の仕方を説明する活動においても，数直線を用いたり，計算の性質など を用いたりすることになる。例えば， 120×2.5の計算の仕方を考えるとき，計算の 性質を用いると「乗数の 2.5を10倍して 25にする。 120×25をして，その答えを 10 で割って， 120×2.5の答えが求められる」などと言葉で説明できる。 小数の除法の意味や計算の仕方を考えるときも同様な活動を行うことが大切であ る。 Ａ(4) 分数 ( 4) 分数についての理解を深めるとともに，異分母の分数の加法及び減法の意味 について理解し，それらを用いることができるようにする。 ア 整数及び小数を分数の形に直したり，分数を小数で表したりすること。 --109/162-- - 170 - イ 整数の除法の結果は，分数を用いると常に一つの数として表すことができ ることを理解すること。 ウ 一つの分数の分子及び分母に同じ数を乗除してできる分数は，元の分数と 同じ大きさを表すことを理解すること。 エ 分数の相等及び大小について考え，大小の比べ方をまとめること。 オ 異分母の分数の加法及び減法の計算の仕方を考え，それらの計算ができる こと。 カ 乗数や除数が整数である場合の分数の乗法及び除法の意味について理解 し，計算の仕方を考え，それらの計算ができること。 〔用語・記号〕 通分 約分 第５学年では，分数の意味や表し方についての理解を深めるとともに，異分母の分 数の加法及び減法の計算の仕方を考え，それらの計算ができるようにする。また，乗 数や除数が整数である場合の分数の乗法及び除法の計算についても指導する。 分数の計算については，真分数をはじめ，仮分数や帯分数を含むものも指導する。 その際，いたずらに複雑な計算を指導するのではなく，分数の計算を生活や今後の学 習へ活用できるようにすることを重視する必要がある。 ア 分数と整数，小数の関係 整数，小数と分数の関係を理解する際に，整数と分数，小数と分数は別なものでは なく，表記は違っても数としては同じものを表していることを実感させる。 一般に，整数を分数に表すときは，表そうとしている整数を a とすれば， a ＝と なる。しかし，整数を分数の形で表したときの分母は必ずしも 1 とは限らず，分母の とる値によって分子の値が決まる。例えば，２＝ ＝ ＝･･･ などとなる。 小数を分数の形に表すには，分母として 10，100，1000などを用いればよい。例え ａ 1 2 1 4 2 --110/162-- - 171 - ば，0.13は を単位として 13のことだから と表すことができる。 また，分数を整数や小数に表すことも指導する。例えば， は１÷４とみて， 0.25 と表すことができる。なお，分数には有限小数では表せないものもある。例えば， は0.3333･･･となり，有限小数では表すことができない。 イ 除法の結果と分数 二つの整数の乗法については，その計算の結果を常に整数で表すことができる。と ころが，二つの整数の除法については，その計算の結果は，必ずしも整数や有限小数 で表すことができるとは限らない。それは，商を小数まで割り進めても割り切れない 場合(４÷３＝1.33…)があるからである。そこで， a ÷b(a，b は整数で b は０でな い)の商を という分数で表すようにすると，どのようなときでも除法の結果を一つ の数で表すことができる。 なお，このとき，６÷３＝２や２÷４＝ 0.5のように，商が整数や小数になる場合 も分数で表すことができることを理解できるようにする。また， a ÷bを とみた り， をa ÷bとみたりすることを，分数を小数で表すときや，分数の乗法，除法 などの計算で有効に生かすことが大切である。 ウ 同じ大きさを表す分数 一つの分数の分子及び分母に同じ数を乗除してできる分数は，元の分数と同じ大き さを表している。例えば， ==となり， ==となる。このよ うに分数は，同じ大きさの表し方が幾通りもあることが特徴である。この特徴は， a ÷b= であることから分かるように，除法に関して成り立つ性質と同じである。 分数の計算の仕方を考えるときに，このような性質に着目できるよう配慮することが 大切である。 100 1 100 13 １ ３ ａ ｂ 2*2 3*2 4 / 2 6/2 2 3 4 6 4 6 2 3 1 4 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ --111/162-- - 172 - 約分とは，分数の分子及び分母，それらの公約数で割って，分母の小さい分数にす ることである。約分した分数は，元の分数と同じ大きさを表す。約分の指導に際して も，数直線や図などを活用することが大切である。 このように，同じ大きさを表す分数の指導を通して，数についての感覚を豊かにす るよう配慮することが大切である。 エ 分数の相等と大小 ウで述べたように，大きさの等しい分数の表し方は幾通りもある。例えば， ， ，，，・・・は同じ大きさを表す分数である。幾つかの分数の相等や大小は， 共通な分母にそろえることで比べることができる。この分母が違う分数を分母が共通 な分数に直すことを通分という。なお，二つの分数を通分するときは，分母として， 二つの分母の最小公倍数を用いると簡潔に表すことができる。 また，通分の指導に当たっては，形式的に操作するだけでなく，その意味をよく理 解し，大きさの等しい分数に着目できるようにすることが大切である。 オ 異分母の分数の加法，減法 異分母の分数の加法や減法は，通分することにより，同分母の分数の加法や減法と 同じように計算することができる。例えば， ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ と 計算することになる。この場合，形式的に通分をして計算するのではなく，通分する ことによって単位分数の幾つ分として考えられることが大切である。これは，単位を そろえて計算するという加法や減法の計算の基本になる考え方である。 カ 分数の乗法，除法 （分数）×（整数） ，（分数）÷（整数）を指導する。(分数)×(整数)，(分数)÷(整 数)の意味は，これまでの整数の乗法及び除法と同じ考え方で説明できる。乗法の意 味は，同じ数を何回も加える累加として考えたり，基準とする大きさとそれに対する 割合から，その割合に当たる大きさを求める計算と考えたりする。除法の意味は，乗 法の逆で，割合を求める場合と基準にする大きさを求める場合で説明できる。 1 2 2 4 3 6 4 8 1 2 1 3 1* 3 2* 3 3 6 1* 2 3* 2 2 6 5 6 --112/162-- - 173 - 乗法及び除法の計算の仕方を指導するに当たっては，形式的に覚えさせるのではな く，その方法を，整数や小数の計算などを活用して，児童が工夫して考え出させるよ うにする必要がある。 〔Ｂ 量と測定〕 Ｂ(1) 図形の面積 ( 1) 図形の面積を計算によって求めることができるようにする。 ア 三角形，平行四辺形，ひし形及び台形の面積の求め方を考えること。 〔算数的活動〕( 1 ) イ 三角形，平行四辺形，ひし形及び台形の面積の求め方を，具体物を用いた り，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 第５学年では，直線で囲まれた基本的な図形の面積について，必要な部分の長さを 測り，既習の長方形や正方形などの面積の求め方に帰着させ計算によって求めたり， 新しい公式をつくり出し，それを用いて求めたりすることができるようにすることを 主なねらいとしている。そこで，既習の考えや経験を基に面積の求め方を考えたり， 公式をつくったりする過程を重視することが大切である。 ア 三角形，平行四辺形，ひし形及び台形の面積の求め方 三角形や平行四辺形，ひし形及び台形の面積の求め方を，既習の求積可能な図形の 面積の求め方を基に考えたり，説明したり，公式をつくり出したりすることや，その 過程で筋道を立てて考える力の育成を図ることが大切なねらいとなる。例えば次のよ うな考えを使って，面積の求め方を説明できるようにする。 @ 図形の一部を移動して，既習の図形に等積変形する考え A 既習の図形の半分の面積であるとみる考え B 既習の図形に分割する考え --113/162-- - 174 - @の例 Aの例 Bの例 平行四辺形を長方形に 三角形を平行四辺形の ひし形を長方形の 台形を二つの 等積変形する 半分とみる 半分とみる 三角形に分ける 三角形などの面積の求め方を指導する中で，このような考えを身に付けさせること によって，児童自ら工夫して面積を求めることができるようになるのである。さらに このことを活用して，三角形などを組み合わせた形や一般の四角形などの面積も考え られるようにする。 また，三角形，平行四辺形の底辺や高さの理解を確実にする必要もある。その際， 底辺をどこにとるかで高さ が決まること，底辺をどこ にとっても面積は同じであ ることなどを指導する。 さらに，この指導に当たっては，面積を求めるのに必要な部分の長さを常にすべて 与えて公式を用いさせるだけでなく，求積のためにどの部 分の長さを測る必要があるかを考える場面を与えること が，公式の理解を深めるために必要である。また，右のよ うな，多くの辺の長さが示されている場面において平行四 辺形の面積を求めようとするとき，必要な情報を自ら選び 出し面積を求めることも，面積の公式を活用する上で重要 である。 また，公式と具体的な図の併用で，高さを固定した平行四辺形や三角形について， 底辺の長さが２倍や３倍になるときの面積の変化を考えさせることや，長さが小数の 場合の面積を考えることなど，三角形などの面積の公式の意味について， 「Ａ数と計 算」の小数の計算や「Ｄ数量関係」の式や比例の学習との関連で理解を深めさせるこ --114/162-- - 175 - とも大切である。 〔算数的活動〕(1)イ 三角形，平行四辺形，ひし形及び台形の面積の求め方を，具体物を用いたり，言葉， 数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 この活動は，面積の求め方を考え，説明する活動を通して，数学的な思考力や表現 力を高めることをねらいとしている。また，面積の学習は，既習の内容を基に創造的， 発展的に作り上げていくことができることを実感することもねらいとしている。さら に，面積の学習を創造的，発展的に作り上げていく際には，図形についての豊かな感 覚や数学的な考えを大事にして学習していくことが大切であることを感じさせること もねらいとしている。この活動は，三角形，平行四辺形，ひし形及び台形のそれぞれ の面積の求め方について行う。このように繰り返し行うことにより，数学的な思考力 や表現力を高めることができる。 (あ)のような平行四辺形を長方形に等積変形して面積を求めた後，(い)のような特 殊な平行四辺形の面積を求める場面で，考え，説明するとは以下のようなことである。 等積変形という考えを用いて，(う)のように長方形に変形することで面積を求めるこ とができると説明したり，(え)や(お)のように，(あ)で学習して求めることができる ようになった平行四辺形に帰着させて面積を求めると説明したりする。 (あ) (い) (う) (え) (お) また，台形の面積を求めるとき，下の図のようにして既習事項の平行四辺形や三角 形などの面積の公式を活用することができる。 （か） （き） （く） （け） 三角形二つに分割 二つ合わせて平行四辺形に 一部を移動して長方形や平行四辺形に --115/162-- - 176 - (か)では，具体物を用いて「台形を対角線で切って，三角形二つに分割してそれぞ れの面積を求めて計算しました。 」と説明できる。(き)では， 「合同な台形をもう一 つもってきて，台形二つを組み合わせて平行四辺形にすると，このときの底辺は（上 底＋下底）になる。 」などと説明できる。(く)や(け)では， 「台形の一部を移動した ら，今までに学習した図形にすることができたので，その図形の面積の公式を用いて 計算できました。 」などである。 このような活動を続けて行うことで，例えば，三角形の高さを二等分して等積変形 し平行四辺形にして面積を求めようとする考えは，特殊な三角形の場合や，台形の場 合でも活用できる考え方であることが分かる。考えを活用することを繰り返すことに より，面積の学習では，このような考えが大切であることに気付かせることができる。 Ｂ(2) 体積の単位と測定 ( 2) 体積について単位と測定の意味を理解し，体積を計算によって求めることが できるようにする。 ア 体積の単位（立方センチメートル( cm 3 )，立方メートル( m 3 )）について知 ること。 イ 立方体及び直方体の体積の求め方を考えること。 第４学年までは，主として，液体などの体積を，単位の大きさをもとにして測るこ とについて理解してきている。第５学年では，立体の体積も，面積などと同じように， 単位の大きさを決めるとその幾つ分として数値化してとらえることができるなど，立 体の体積についてその単位や測定の意味を理解し，体積を求めることができるように することを主なねらいとする。また，長方形などの面積の求め方と同じように，直方 体や立方体の体積も，体積そのものを測る道具を用いて測定するのではなく，図形を --116/162-- - 177 - 決定付ける辺の長さの測定を基に計算で求めることができることが分かるようにす る。 ア 体積の単位（cm 3 ，m 3 ）と測定 ここでは，面積を単位となる大きさを基に求めたことからの類推により，体積の単 位としては空間を隙間なく埋め尽くす立体図形が適当であることについて理解できる ようにする。そして，その立体図形としては一辺の長さでその大きさが決まる立方体 が便利で，その一辺の長さが１ cm や１ mのように長さの単位の大きさであるものが 都合がよいことなどについて理解できるようにする。 さらに，大きなものの体積を表すとき，立方センチメートル（ cm 3 ）を単位とする と数値が大きくなり扱いにくくなることの不便さに気付き，より大きな単位である立 方メートル（ m 3 ）を指導するようにする。 また，身の回りにある立方体や直方体の体積を実際に求める活動や，実際に１ m 3 の大きさの立方体を観察する活動などにより，体積の大きさについての感覚を育てる よう配慮する必要がある。なお，一辺が 10 cmの立方体の体積が１ lに当たることに も触れるようにする。 イ 立方体及び直方体の体積の求め方 立方体や直方体は，一辺が１ cm や１ mなどの単位体積の立方体を積み重ねてつく ることができる。したがって，長方形の面積を求めた場合からの類推によって，縦， 横，高さを測ることによって，計算で体積を求めることができることを理解し， （直 方体の体積)＝(縦)×(横)×(高さ)という公式を導くことになる。その際，例えば単 位体積の立方体をきちんと敷き詰めた１段分の個数を(縦)×(横)， その段の個数を （高 さ）でそれぞれ表すことができることについての理解を確実にする必要がある。 また，身の回りにある立方体や直方体の体積を実際に求める体験的な活動により， 体積についての量感を育てるよう配慮する必要がある。 さらに，具体物を用いたり図を用いたりして，縦と横の長さを固定した直方体につ いて，高さが２倍，３倍，４倍，…になるときの体積の変化を考えさせるなどして， 体積の公式の意味について， 「Ｄ数量関係」の式や比例の学習との関連で理解を深め させることも大切である。このことが第６学年の角柱や円柱の体積の求積方法に活用 --117/162-- --117/162-- - 178 - されるからである。 Ｂ(3) 量の大きさの測定値 ( 3) 量の大きさの測定値について理解できるようにする。 ア 測定値の平均について知ること。 測定について，対象の大きさや測る目的によって適当な計器や単位を選ぶこと，目 盛りの読み，測定値の表し方などの基本的な事柄は，第４学年までに指導してきてい る。第５学年では，測定した結果について，平均を用いて，それを妥当な数値として 示すことができるようにすることをねらいとしている。 測定する場合に，概測によりおよその大きさをとらえておくことは，測定に対する 見通しを立て，測定の結果の誤りを少なくする上でも，適当な計器や単位を選択する 上でも必要なことである。計器の目盛りを読み取って測定値を出す場合には，その目 盛りが最小目盛りのどれに一番近いかによって末位を丸めたり，最小目盛りの間を目 分量で10等分などして末位を決めるなど，近似値になることを指導する。 ア 測定値の平均 測定には必ず誤差が伴うことに気付かせ，それを考慮に入れて測定値について指導 しなければならない。 一般に，一つのものの測定値として幾つかの数量があったとき， それらを同じ大きさの数量にならすことでより妥当な数値が得られる場合がある。そ こで測定値を平均する考えを用いることを指導する。例えば，歩測によってある長さ を調べる場合，その処理方法としては，何回か測って，これを平均したものが用いら れるが，これも形式的に計算させればよいというのではなく，その意味を理解させる ことが必要である。その際，飛び離れた値や，予想外の値があった場合にそのわけを 一応調べてみさせ，場合によっては，それらを除いて平均を求めたりすることなども 考えられるようにする。例えば，走り幅跳びで跳んだ距離を平均する際，足が合わな くてうまく跳べなかった値などを除外することなどが考えられる。測定値を平均する 活動は，日常生活だけでなく理科などでも活用して用いられるよう指導する。 なお、測定値を使って計算するときには，答えの数の桁数を，測定値の桁数より多 --118/162-- - 179 - く出してもあまり意味がないので， 元の測定値の桁数程度にとどめるのが普通である。 Ｂ(4) 異種の二つの量の割合 ( 4) 異種の二つの量の割合としてとらえられる数量について，その比べ方や表し 方を理解できるようにする。 ア 単位量当たりの大きさについて知ること。 第５学年では，これまでに指導した量のほかに，異種の二つの量の割合としてとら えられる数量があることを指導する。米の収量を比較するのに， 10 a当たりの収量で 比べたり，人口の疎密を比べるのに１ km 2 当たりの人口，すなわち人口密度を用いた りするのが，これに当たるといえる。その比べ方や表し方について理解し，それを用 いることができるようにすることを主なねらいとしている。 その際，基本的な量の性質をもっていない量を比較するのは初めてであるので，次 のような指導を通して，異種の二つの量の割合としてとらえられる量を比べることの 意味を十分理解させるように指導する。 まず，人口密度のように，一つの量，例えば人数だけに着目したのでは比べること ができないし，単位となる数量が幾つ分あるかを数えるという測定の考えでも数値化 することができない量があることを理解できるようにする。その場合，具体的な場面 を用意して，長さや重さのような量と対比させながら，そのような量があることをで きるだけ児童自身が見いだせるようにすることが大切である。例えば，運動場が混み 合っているかどうかは，運動場の面積と全校の児童の人数とを組み合わせなければ決 められないことなどに，長さ比べや重さ比べと対比させながら気付かせることが考え られる。 次に，このような事柄は，どのようにすると比べることができるか，どのようにし て数値化したらよいかについて考えられるようにする。一般には，二つの量がかかわ っているので，その一方をそろえてほかの量で比較する方法が用いられる。これらの 考えを用いるときには，二つの数量の間に比例関係があるという前提がある。また， 平均の考えなども前提にしている。そこで指導に当たっては，これらのことについて --119/162-- - 180 - も着目させ，その意味を理解させていくような配慮が必要である。例えば，人口密度 の場合，人口と面積の二つの量がかかわっている。このとき，人口を２倍，３倍，４ 倍，…にしたとき面積も２倍，３倍，４倍，…すれば混み具合が変わらないことを用 いて，比較するときには，どちらか一方の量，例えば面積をそろえて，もう一方の量 の人口の大小で比べると比べやすいことに気付かせる。つまり 10 m 2 の部屋に７人い る場合と 15 m 2 の部屋に 10人いる場合について混み具合を比べる際， 30 m 2 にそろえ るとそれぞれ 21人と 20人になるが，このように面積をそろえて人数で比べることが 考えられる。 ア 単位量当たりの大きさ ここでは，異なった二つの量の割合でとらえられる数量を比べるとき，三つ以上の ものを比べたり，いつでも比べられるようにしたりするためには，単位量当たりの大 きさを用いて比べるとより能率的に比べられることを理解し，単位量当たりの大きさ を用いて比べることができるようにすることをねらいとしている。 なお，人口密度を比べる場合には，面積を単位量にして１ km ２ 当たりの人口で比 べてもよいし，人口を単位量にして一人当たりの面積で比べてもよい。しかし，一般 に人口密度の場合には，密度が高いときに大きな数値が対応するようにした方が都合 がよいため，面積の方を単位量として人口で比べることが多い。 〔Ｃ 図 形〕 Ｃ(1) 平面図形の性質 ( 1 ) 図形についての観察や構成などの活動を通して，平面図形についての理解を 深める。 ア 多角形や正多角形について知ること。 イ 図形の合同について理解すること。 ウ 図形の性質を見いだし， それを用いて図形を調べたり構成したりすること。 エ 円周率について理解すること。 --120/162-- - 181 - 〔算数的活動〕(1) ウ 合同な図形をかいたり，作ったりする活動 エ 三角形の三つの角の大きさの和が 180゜になることを帰納的に考え，説明 する活動。四角形の四つの角の大きさの和が 360゜になることを演繹的に えき 考え，説明する活動 （内容の取扱い） ( 2 ) 内容の「Ｃ図形」の( 1 )のエについては，円周率は 3.14 を用いるものとする。 第５学年では，多角形や正多角形などについて指導し，平面図形についての理解を 深めるようにする。 ア 多角形や正多角形 多角形とは，三つ以上の直線で囲まれた図形である。例えば，６本の直線で囲まれ た図形を，六角形という。また，辺の長さがすべて等しく，角の大きさがすべて等し いも多角形を，正多角形という。正三角形や正方形は，正多角形である。 正多角形には，円の内側にぴったり入る（円に内接する） ，円の外側にぴったり接 する（円に外接する）などの性質がある。 例えば， 円に内接する正八角形の頂点と円の中心とを結んでできる八つの三角形は， 二等辺三角形であり，しかもすべて合同である。また，六つの合同な正三角形を一つ の頂点が共通になるように並べると，正六角形ができる。円周を半径で区切っていく ことによってできる形は，半径と等しい長さを一辺にもつ正六角形になる。 このように，正多角形については，円と組み合わせて作図したり，性質を調べたり することができる。 --121/162-- - 182 - イ 図形の合同 児童はこれまでに，例えば，正方形や二等辺三角形を二つに切ると，形も大きさも 同じ図形ができることを経験してきている。 第５学年では，図形の合同について理解できるようにする。二つの図形がぴったり と重なるとき，つまり，形も大きさも同じであるとき，この二つの図形は合同である という。二つの図形が合同であるとき，対応する辺の長さや対応する角の大きさは， それぞれ等しい。合同な図形を見付けたり，かいたり，作ったりする活動を通して， 図形の性質を見付けたり，確かめたりできるようにすることが大切である。 また，二つの合同な図形が，ずらしたり，回したり，裏返したりして置かれた場合 でも，その位置に関係なく，必要な辺と辺，角と角の対応が付けられるようにするこ とが大切である。 下の図のように，平行四辺形を対角線によって二つの三角形に分けると，合同な図 形ができる。また，二つの合同な三角形を組み合わせて平行四辺形ができるし，合同 な三角形をかくことで平行四辺形を作図することもできる。 二つの合同な三角形に分割 合同な二つの三角形の組み合わせ 合同な三角形になる図 ウ 図形の性質 第５学年では，図形の性質を見いだし，それを用いて図形を調べたり構成したりす --122/162-- - 183 - ることを指導する。 ある図形について，いつでも成り立つような事柄がある。そうしたものを図形の性 質という。例えば，三角形については，どんな三角形でも，三つの角の大きさを加え ると180°になる。これは，三角形のもつ性質である。この性質は，帰納的に考え， 説明することができる。帰納的に考えるとは，幾つかの具体的な例に共通する一般的 な事柄を見いだすことである。 また，四角形については，どんな四角形でも，四つの角の大きさを加えると 360° になる。これは，四角形のもつ性質である。この性質は，三角形の性質（三つの角の 大きさを加えると 180°になるという性質）を用いて，演繹的に考え，説明すること ができる。 このほかに，これまでに指導してきた図形についても，その図形がもつ性質を見い だし，それを用いて図形を調べたり構成したりできるようにする。性質を見いだすに は，図形を構成したり分解したりする活動を取り入れる必要がある。また，筋道を立 てて考えることに関心をもったり，筋道を立てて考えることのよさに気付いたりでき るようにすることが大切である。 エ円周率 円については，第３学年で，円の中心，半径，直径などについて指導してきている。 第５学年では，円周率の意味を指導する。 直径の長さと円周の長さとの間に何か関係がありそうだと気付かせ，円周の長さは 直径の長さの何倍になるかとの見通しを立 てさせる。例えば，円に内接する正六角形 と円に外接する正方形を利用すれば，円周 の長さは直径の３倍（半径の６倍）より大 きく，直径の４倍より小さいことを見いだ すことができる。そして，実際に幾つかの円について，直径の長さと円周の長さを測 定するなどして帰納的に考えることにより，どんな大きさの円についても，円周の直 径に対する割合が一定であることを見いだすことができる。この円周の直径に対する 割合のことを円周率という。円周率を指導することにより，直径の長さから円周の長 --123/162-- - 184 - さを，また，逆に円周の長さから直径の長さを計算によって求めることができるなど， 直径，円周，円周率の関係について理解できるようにする。 また， 「内容の取扱い」の( 2)では， 「円周率は 3.14を用いるものとする」と示して いる。 〔算数的活動〕 （1）ウ 合同な図形をかいたり，作ったりする活動 この活動は，合同な図形を重ねて写し取ったり，対応の考えを用いたりして，かい たり，作ったりする活動の中で，どのような条件を用いれば合同な図形をかいたり， 作ったりすることができるかということに着目し，合同について実感的に理解できる ようにすることをねらいとしている。 合同な図形をかいたり，作ったりする活動を通して，三角形の合同については次の 条件が必要であることに気付けるようにすることが大切である。 三つの辺がそれぞれ等しい 二つの辺の長さとその間の角 一つの辺の長さとその両端の角 の大きさがそれぞれ等しい の大きさがそれぞれ等しい また，かいたり，作ったりした図形が合同であるかどうかを確かめたり，条件にあ っているかどうかを確かめたりする活動によって，確かな根拠を基に説明する態度を 育てることができる。 〔算数的活動〕 （1）エ 三角形の三つの角の大きさの和が180ﾟになることを帰納的に考え，説明する活動。 四角形の四つの角の大きさの和が360ﾟになることを演繹的に考え，説明する活動 えき この活動は，三角形の三つの角の大きさの和と四角形の四つの角の大きさの和を考 え，説明することをねらいとしている。 帰納的に考えるとは，幾つかの具体的な例に共通する一般的な事柄を見いだすこと である。ここでの活動は，いろいろな三角形を調べることを通して，三角形の三つの 角の大きさの和が 180゜になることを考え，説明することである。 --124/162-- - 185 - 一つの三角形の三つの角の大きさの和が 180゜であることを調べる方法には，合同 な三角形を敷き詰めたり，分度器で測ったり，三つの角の部分を寄せ集めたりするな どの方法がある。そこで，それらの方法を活用して，どんな三角形の三つの角の大き さの和も 180°になることの驚きを感じさせたり，その美しさを味わわせたりしてい くようにする。 演繹的に考えるとは，すでに正しいことが明らかになっている事柄を基にして別の 新しい事柄が正しいことを説明していくことである。ここでの活動は，三角形の三つ の角の大きさの和が 180゜であることを基にして，四角形の四つの角の大きさの和が 360°になることを考え，説明することである。 @ D A D AA E BCB C 180×2 180×4 −360 演繹的に考え説明する方法の代表的なものとして，次の二つの方法がある。@は四 角形を１本の対角線で二つの三角形に分けて考える方法で，三角形の三つの角の大き さの和が 180゜であることを基にして， 180°の２倍から 360°を導き出す方法であ る。Aは四角形の内部に点Ｅをとり，点Ｅと各頂点とを結んだ直線で四つの三角形に 分けて考える方法で， 三角形の三つの角の大きさの和が 180゜であることを基にして， 180°の４倍から点Ｅの周りの角の大きさである 360°を引いて 360°を導き出す方 法である。これらの考え方を活用して，演繹的に考え，説明しながら，筋道を立てて 考えることに興味をもたせるようにするとともに，筋道を立てて考えることのよさに ついても気付かせていくようにする。 Ｃ(2) 立体図形の性質 ( 2 ) 図形についての観察や構成などの活動を通して，立体図形について理解でき るようにする。 ア 角柱や円柱について知ること。 --125/162-- - 186 - 〔用語・記号〕 底面 側面 （内容の取扱い） ( 3 ) 内容の「Ｃ図形」の( 2 )のアについては，見取図や展開図をかくことを取り 扱うものとする。 立体図形としては，第４学年で，立方体，直方体について，辺，面，頂点などの構 成要素の個数や面の形，辺や面の平行，垂直の関係などに着目し，これらの特徴を理 解している。第５学年では，立体図形として，角柱，円柱を指導し，立体図形を平面 上に表現させたり， 平面にかかれた図形から立体図形を想像させたりすることにより， 空間についての感覚を豊かにすることができるようにすることをねらいとしている。 なお，〔用語・記号〕では，底面，側面という用語を示している。これらの用語を 用いて説明したり，表現したりできるようにすることが大切である。 ア 角柱や円柱 角柱や円柱は，底面と側面とで構成される立体である。角柱は，底面が多角形で側 面が長方形の立体である。例えば，底面が三角形である角柱を三角柱，四角形である 角柱を四角柱と呼ぶ。そして，立方体や直方体についても角柱の中に含めてとらえる ことができるようにする。また，円柱は，底面が円の形をした立体であることを指導 する。 これらの立体図形について，図形を観察するなどの活動を通して，角柱や円柱の構 成要素である頂点や辺や面の個数や面の形をとらえたり，辺と辺，辺と面，面と面の 平行，垂直の関係をとらえたりすることができるように指導する。 また，「内容の取扱い」の( 3 )では， 「見取図や展開図をかくことを取り扱うものと する」と示している。見取図や展開図をかくことを通して，辺と辺，辺と面，面と面 のつながりや位置関係を調べることができるようにする。また，展開図をかいて立体 --126/162-- - 187 - を構成する活動を通して，角柱や円柱についての理解を深め，空間についての感覚を 豊かにする。 〔Ｄ 数量関係〕 Ｄ(1) 伴って変わる二つの数量の関係 ( 1) 表を用いて，伴って変わる二つの数量の関係を考察できるようにする。 ア 簡単な場合について，比例の関係があることを知ること。 〔用語・記号〕 比例 第４学年までに，加法，減法，乗法，除法の用いられる場合に関連して，伴って変 わる二つの数量の関係について指導してきている。これらの上に，第５学年では，伴 って変わる二つの数量の関係を考察する能力を高めるとともに，比例の関係について 知り，関数の考えを伸ばしていくことをねらいとしている。 指導に当たっては，表を中心に取り扱う。表をかいたり読み取ったりする活動を十 分に行い，表を活用できるようにすることが大切である。例えば，小数の乗法及び除 法，三角形や平行四辺形の面積の公式，百分率など割合に関する内容などを取り上げ る際，表を用いて伴って変わる二つの数量の関係を考察することができるようにする。 このような表を活用することにより， 数量の対応や変わり方の特徴を読むことなど， 数量の関係の見方を深めるようにすることが大切である。 ア 簡単な場合の比例の関係 第５学年では，伴って変わる二つの数量の関係の中から，特に簡単な場合について 比例の関係を指導する。簡単な場合とは，表を用いて，一方が２倍，３倍，４倍，… になれば，それに伴って他方も２倍，３倍，４倍，…になる二つの数量の関係につい て知る程度を指している。例えば， 「階段１段の高さが15 cmのときの階段の段数と 全体の高さ」 ， 「縦の長さが６cmと決まっている場合の長方形の横の長さと面積」な --127/162-- --127/162-- - 188 - どである。そして，表に数量を当てはめながら調べていくことを指導する中で，二つ の数量の対応や変化の仕方の特徴を見いだすことができるようにする。 その際， これまでに指導した乗法の場面と深くかかわっていることにも気付かせる。 また，的確にとらえられるようにするために，見いだした特徴やきまりを「横の長さ が２倍，３倍，４倍，…になれば，面積も２倍 ，３倍，４倍，…になる」などのよう に言葉を用いて表すようにする。 Ｄ(2) 数量の関係を表す式 (2) 数量の関係を表す式についての理解を深め，簡単な式で表されている関係に ついて，二つの数量の対応や変わり方に着目できるようにする。 第４学年では，公式や□，△を用いた式など，数量の関係を表す式について指導し てきている。第５学年では，第４学年までの理解の上に，□＝２＋△，□＝２×△， □＝３×△＋１などの式で表される数量の関係について調べ，数量の関係を表す式に ついての理解を深めることがねらいである。 式の意味を読み取るためには，式の中にある二つの数量の対応や変化の仕方にどん な特徴が見られるかを表などを用いて調べたり，二つの数量の関係を言葉の式などで 表したりする活動が十分に行えるよう配慮する必要がある。また，式の意味について の理解を深めるためには，関数の考えを伸ばすことも大切である。 また，公式などの表している関係が，整数のみならず小数も含めて用いられること について触れ，数量の関係や法則などを簡潔かつ一般的に表すという式の役割につい ての理解を深める。 Ｄ(3) 百分率 ( 3) 百分率について理解できるようにする。 〔用語・記号〕 ％ --128/162-- - 189 - （内容の取扱い） ( 4) 内容の「Ｄ数量関係」の( 3)については，歩合の表し方について触れるもの とする。 資料を数量的に考察する場合には，数量の大きさの間の関係を差でとらえる場合と 割合でとらえる場合がある。資料の全体と部分，部分と部分の関係を考察する場合に は，割合を用いて表す場合が多い。 第４学年までに，基準にする大きさを１として，それに対する割合を小数で表すこ とを経験してきている。第５学年では，百分率について理解し用いることができるよ うにすることをねらいとしている。 割合をなるべく整数で表すために，基準とする量の大きさを 100として，それに対 する割合で表す方法が，百分率（パーセント）である。したがって，割合を整数で表 すと分かりやすいというよさに気付くようにすることが大切である。 日常の生活では，百分率は， 「欠席率が15％だった。 」とか「定価の20％引きで買 った。 」というような確定的な事象の関係を表すことに用いられるほかに，天気予報 などで「明日の降水確率は20％である。 」というように不確定な事象に関しても用い られる。日常の生活の中から百分率が用いられる事象を探すなどの活動を通して，算 数が生活の様々な場で用いられていることに気付くことができるよう配慮する必要が ある。 なお，第５学年の「内容の取扱い」の( 4 )では， 「歩合の表し方について触れるも のとする」と示している。ここで取り扱う歩合の意味については，百分率の場合と関 連付け，基準とする大きさを10とみて，それに対する割合を「割」で表していること などに触れるようにする。また，歩合も，百分率と同様，日常生活の中で用いられて いる割合の便利な表現であることに気付くことができるよう配慮する。 Ｄ(4) 円グラフや帯グラフ --129/162-- - 190 - ( 4) 目的に応じて資料を集めて分類整理し，円グラフや帯グラフを用いて表した り，特徴を調べたりすることができるようにする。 〔算数的活動〕( 1 ) オ 目的に応じて表やグラフを選び，活用する活動 第５学年では，資料について，全体と部分，部分と部分の間の関係を調べると特徴 をとらえやすい事象があることに気付かせ，資料を割合を示す円グラフや帯グラフに 表したり，それを読み取ったりすることを主なねらいとしている。 円グラフや帯グラフの指導については，百分率と関連させて， そのかき方とともに， それを読み取ることも取り扱う。その際，グラフという表現の特徴を生かして，統計 的な見方を育成していくようにすることが大切である。なお，円グラフについては， 10 等分又は 100等分の目盛りの入った用紙を用いる。 〔算数的活動〕(1)オ 目的に応じて表やグラフを選び，活用する活動 この活動は，児童が目的意識をもって，問題の解決に向けて，より適切な表やグラ フを選択し，表したり，読み取ったり，判断をしたりするなど，表やグラフを活用で きるようにするものである。また，算数を学ぶことの楽しさや意義を実感することも ねらいとしている。 第５学年までに，表については二次元表まで指導しており，グラフについては棒グ ラフ，折れ線グラフ，円グラフ，帯グラフを学習してきている。これらの既習の知識 及び技能を活用することができるように，児童が資料の特徴を説明したり，主張した いことを伝えたりする場面を設定することが大切である。 その際， 「数量の大きさを示す」 ， 「数量の変化を示す」 ， 「数量の割合を示す」など の目的を明らかにし，それに応じた表やグラフを選択させるようにする。その上で， 項目の取り方や目盛りの付け方を検討したり，複数のグラフを組み合わせたりするな ど，表やグラフの表し方について工夫したり，また，それらを関連付けて読み取った --130/162-- - 191 - り，判断したりするなどの活動を十分に行うようにする。 〔算数的活動〕 ( 1) 内容の「Ａ数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ， 「Ｃ図形」及び「Ｄ数量関係」に示 す事項については，例えば，次のような算数的活動を通して指導するものとす る。 ア 小数についての計算の意味や計算の仕方を，言葉，数，式，図，数直線を 用いて考え，説明する活動 イ 三角形，平行四辺形，ひし形及び台形の面積の求め方を，具体物を用いた り，言葉，数，式，図を用いたりして考え，説明する活動 ウ 合同な図形をかいたり，作ったりする活動 エ 三角形の三つの角の大きさの和が 180゜になることを帰納的に考え，説明 する活動。四角形の四つの角の大きさの和が 360゜になることを演繹的に えき 考え，説明する活動 オ 目的に応じて表やグラフを選び，活用する活動 〔用語・記号〕 最大公約数 最小公倍数 通分 約分 底面 側面 比例 ％ --131/162-- - 192 - ６ 第６学年の内容 〔Ａ 数と計算〕 Ａ(1) 分数の乗法，除法 (1) 分数の乗法及び除法の意味についての理解を深め，それらを用いることができる ようにする。 ア 乗数や除数が整数や小数である場合の計算の考え方を基にして，乗数や除数が 分数である場合の乗法及び除法の意味について理解すること。 イ 分数の乗法及び除法の計算の仕方を考え，それらの計算ができること。 ウ 分数の乗法及び除法についても，整数の場合と同じ関係や法則が成り立つこと を理解すること。 〔算数的活動〕( 1 ) ア 分数についての計算の意味や計算の仕方を，言葉，数，式，図，数直線を 用いて考え，説明する活動 (内容の取扱い) (1) 内容の「Ａ数と計算」の(1)については，逆数を用いて除法を乗法の計算として みることや，整数や小数の乗法や除法を分数の場合の計算にまとめることも取り扱 うものとする｡ 第５学年までに，整数及び小数の四則計算について指導してきている。また，同分 母や異分母の分数の加法及び減法についてや，乗数や除数が整数である場合の分数の 乗法及び除法の計算についても指導してきている。 --132/162-- - 193 - 第６学年では，乗数や除数が分数である場合の乗法及び除法の計算の仕方を考え， それらの計算ができるようにするのが主なねらいである。 分数の計算については，真分数をはじめ，仮分数や帯分数を含むものも指導する。 その際，いたずらに複雑な計算を指導するのではなく，分数の計算を生活や今後の学 習へ活用できるようにすることを重視する必要がある。特に，分数の乗法及び除法に ついては，帯分数よりも仮分数で表しておく方が計算を進めやすくなるので，児童が そうした点に気付くことができるように指導することも大切である。 ア 乗数や除数が分数の場合の乗法，除法の意味 第５学年で， 乗数が整数の場合の分数の乗法について， 計算の意味を指導している。 それは，同じ数を何回も加える累加としたり，基準とする大きさとそれに対する割合 から，その割合に当たる大きさを求めたりするというものである。除数が整数の場合 の分数の除法は，乗法の逆としてとらえることができる。 第６学年では，これまでに指導してきた整数や小数の計算の考え方を基にして，乗 数や除数が分数の乗法及び除法について理解できるようにする。すなわち，乗法の意 味は，Bを「基準にする大きさ」 ，P を「割合」 ，Aを「割合に当たる大きさ」とする とき，B×P＝Aと表せる。除法の意味としては，乗法の逆として割合を求める場 合と，基準にする大きさを求める場合とがある。 イ 分数の乗法及び除法の計算 第５学年までに指導してきた，整数や小数の乗法や分数に整数をかける乗法及び分 数を整数で割る除法の考え方を基にして，乗数や除数が分数の計算の仕方を考え，そ れらの計算ができるようにする。分数の乗法や除法の計算の仕方は，次のウで述べる 計算の性質を用いて，既習の乗法や除法に直して考えることができる。計算の仕方を 考える場合には，数直線を用いたり，図を用いたりするなどの工夫が考えられる。こ のことについては，算数的活動( 1)アで述べる。 「内容の取扱い」の( 1)で取り上げる逆数については，除法の計算は逆数を用いる ことによって乗法の形に置き換えることができることを指導する。例えば， ÷ 2 5 3 4 --133/162-- - 194 - の計算は，除数の の逆数は であることから， × と表すことができる。 また，整数や小数の乗法や除法を分数の場合の計算にまとめることも指導する。例 えば，５÷２× 0.3＝××＝ と分数の形にまとめて表すことがで きることである。 ウ 分数の乗法及び除法の計算の性質 乗数が２倍，３倍，４倍，…になると積も２倍，３倍，４倍，…なるという乗法の 性質がある。また，除数及び被除数に同じ数をかけても，同じ数で割っても商は変わ らないという除法の性質がある。こうした性質や，交換法則，結合法則，分配法則に ついて，分数についても成り立つことを調べられるようにする。 例えば，分数の除法については，除法の性質を生かして， ÷ の計算を， ÷ ＝( ×４)÷( ×４)＝( ×４)÷３＝ ＝ と考えることができる。また， ÷＝(×)÷(×)＝×＝ ＝ と考えることもできる。 こうした指導を通して，筋道を立てて考えるなどの数学的な考え方を伸ばしていく よう配慮することが大切である。 〔算数的活動〕 （1）ア 分数についての計算の意味や計算の仕方を，言葉，数，式，図，数直線を用いて考 え，説明する活動 この活動は，既習の学習を基にしながら数学的に表現する能力を育てたり，根拠を 明らかにして論理的に考える態度を伸ばしたりすることをねらいとしている。 これは， 分数の乗法や除法の計算の意味を，分数に整数をかけたり割ったりする乗法や除法の 計算の意味を用いて考え，説明するものである。 2 5 3 4 2 5 3 4 4 3 2 5 4 3 1 2 10 3 1* 2 * 10 5* 1 * 3 3 4 2 5 2* 4 5* 3 15 8 2 5 3 4 2 5 4 3 3 4 4 3 2 5 4 3 5 1 2 5 3 4 2 * 4 5 * 3 15 8 --134/162-- - 195 - 例えば， 「１ｍの重さが sの棒があります。この棒 ｍの重さは何sでしょう か。 」の問題においては， 「 sを１とみたとき に当たる重さ」と言葉で表した り，１ｍの重さ ×棒の長さ＝ 棒の重さ の言葉の式に当てはめたり，数直線に表し たりして， × ととらえられるようにする。 ０ □ 棒の重さ(s) ０ １ 棒の長さ(ｍ) これらの活動によって，自分の考えを既習の学習を基にしながら，数，式，図など を用いて表すことになる。 また，計算の仕方についても，数直線を用いたり，計算の性質などを用いたりして 説明する活動を行うことができる。ここでは， ×２÷３や ÷３×２で求められ ることを説明することになる。 さらに，具体的な棒を見ながら， ｍに当たる重さの求め方を説明することもで きる。 左の図のような重さが sの１ｍの棒 を見て，これを３等分して，その二つ分 が ｍの重さになることを説明する。こ のことを式に表すと， ÷３×２になる。 ここでも，既習の分数÷整数，分数× 整数を基にして，根拠を明らかにして論理的に考える態度を伸ばすことになる。 Ａ(2) 小数，分数の計算の能力の定着 ３ ４ ２ ３ ３ ４ ２ ３ ３ ４ ２ ３ ３ ４ ２ ３ ３ ４ ３ ４ ２ ３ ３ ４ ２ ３ ３ ４ --135/162-- - 196 - (2) 小数及び分数の計算の能力を定着させ，それらを用いる能力を伸ばす。 小数及び分数の四則計算については，第３学年から第６学年に渡って指導してきて いる。第６学年では，小数及び分数の四則計算について，計算の能力を定着させ，そ れを用いる能力を伸ばすようにする。 計算の能力には，計算の意味を理解することや，計算の仕方を考えることなどが含 まれる。計算を用いる能力には，基礎的・基本的な計算の技能に習熟することや，計 算を生活や学習に活用することなどが含まれる。 〔Ｂ 量と測定〕 Ｂ(1) 概形とおよその面積 ( 1) 身の回りにある形について，その概形をとらえ，およその面積などを求める ことができるようにする。 第６学年では，実際の測定を通して，測定について習熟させるとともに，概測など を用いて，測定が目的に応じて能率よくできるようにすることをねらいとしている。 面積や体積については，測定しようとする身の回りにある図形は，必ずしも基本的 な図形とは限らない。そこで，平面図形ならば三角形や四角形のように測定しやすい 形とみたり，それらに分けたりする。立体図形であれば，直方体や立方体とみたり， それらに分ける工夫をしたりする。その際， 概形をとらえることが重要な働きをする。 規則正しい形のものだけでなく，身の回りのものについて考察する過程で，このよう な処理について経験を豊かにする必要がある。 なお，測定値を用いての計算に当たっては，いたずらに桁数を多く求めても無意味 なことを指導し，目的に応じて計算をさせるようにする。 Ｂ(2) 円の面積 --136/162-- - 197 - ( 2) 図形の面積を計算によって求めることができるようにする。 ア 円の面積の求め方を考えること。 （内容の取扱い） ( 2) 内容の「Ｂ量と測定」の( 2)のアについては，円周率は 3.14を用いるものと する。 第５学年までに，三角形や四角形など直線で囲まれた図形の面積の求め方について 指導している。また円については，円周の長さが（直径）×（円周率）で表されるこ とを指導している。第６学年では，曲線で囲まれた図形である円について，面積の求 め方を考えることを指導する。 ア 円の面積の求め方 円の面積の求め方を考えるとき，はじめに面積の大きさの見通しをもつことが大切 である。そのために，右の図を観察すると， 円の面積は，一辺の長さが半径に等しい正方形の面積 の２倍と４倍の間にあることが分かる。 面積を求めるためには，例えば，次のような考え方がある。 @ 方眼紙に円を作図して，円の内側にある正方形の 個数を数えて，面積を求める方法。 右は，１目盛りが１ cm の方眼紙に，半径が 10 cm の円をかいたものである（図はその ） 。 A 円を右の図のように等分して， 並べ替え， 平行四辺形に近い形を作り，円の面積を求 める方法。この場合，等分を細かくしてい けば，平行四辺形に近い形の底辺は円周の長さの半分に，高さは元の円の半径に 近づくことから，円の面積は次のような式で表せる。 １ ４ --137/162-- --137/162-- --137/162-- - 198 - （円の面積）＝（平行四辺形の面積）＝（円周）÷２×（半径） ここで， （円周）＝（直径）×（円周率）を使うと，式は次のようになる。 （円の面積）＝（直径）×（円周率）÷２×（半径） ＝（半径）×（半径）×（円周率） なお， 「内容の取扱い」の( 2)では， 「円周率は 3.14を用いるものとする」と示して いる。これは，生活や学習では一般に 3.14を用いれば，多くの場合十分だからであ る。 Ｂ(3) 角柱及び円柱の体積 ( 3) 図形の体積を計算によって求めることができるようにする。 ア 角柱及び円柱の体積の求め方を考えること。 体積については，これまで，立方体や直方体について指導してきている。また第５ 学年で，基本的な立体図形として，角柱，円柱について指導している。角柱や円柱の 底面の形は，三角形，四角形，円などである。三角形や四角形については第５学年で， 円については第６学年で，面積を求めることは指導している。そこで第６学年では， 角柱や円柱の体積などを求めることができるようにすることをねらいとする。 その際， 角柱などの図形についての理解を深めることにも配慮する必要がある。 ア 角柱及び円柱の体積の求め方 角柱，円柱の体積については，第５学年で指導した直方体，立方体の場合の体積の 求め方を基にして，これらの立体の体積も計算によって求めることができることを理 解することが主なねらいとなる。 直方体や立方体では，高さを１pに切った立体の体積をまず考えて，その体積を高 さの分だけ倍にする考えを用いて体積の公式を導き出した。この考えを用いて，角柱 や円柱の体積の求め方を考えることができる。 また，直方体の体積を求める公式から類推して，角柱や円柱の体積を求める公式を 導くことができる。まず次のように直方体での（縦）×（横）が（底面積）に当たる ととらえる。 --138/162-- - 199 - （直方体の体積）＝（縦）×（横）×（高さ）＝（底面積）×（高さ） このことを基にして，一般化して角柱や円柱の体積を求める公式を （角柱や円柱の体積）＝（底面積）×（高さ） という形でまとめることについても理解できるようにする。 Ｂ(4) 速さ ( 4) 速さについて理解し，求めることができるようにする。 第５学年では，異種の二つの量の割合について指導し，部屋の混み具合や人口密度 などを取り上げている。 第６学年では，異種の二つの量の割合である速さについて指導する。 速さについては，児童は日常生活において，人の走る速さや乗り物が移動する速さ などを，速い，遅いなどと表現してとらえる経験をしてきている。 速さを量として表すには，移動する長さと，移動にかかる時間という二つの量が必 要になる。速さは，単位時間当たりに移動する長さとしてとらえると， （速さ）＝（長 さ）÷（時間）として表すことができる。 例えば，時速 60kmの速さとは，１時間に 60km の長さを移動する速さということになる。 日常生活などでは，速さを，一定の長さを移動するのにかかる時間としてとらえる ことがある。例えば， 100m走などの競技では， 100mを走るのにかかる時間によって， 速さを表している。時間が短いほど，速さが速いということになる。 速さを，単位時間当たりに移動する長さとしてとらえると，速いほど大きな数値が 対応することになる。また，速さを，一定の長さを移動するのにかかる時間としてと らえると，速いほど小さな数値が対応することになる。 速さについては， （速さ）＝（長さ）÷（時間）という式で表されることから，長 さと時間から速さを求めることができる。また，速さと時間から長さを求めることも できるし，長さと速さから時間を求めることもできる。実際の場面と結び付けるなど して，生活や学習に活用できるようにすることが大切である。 Ｂ(5) メートル法の単位の仕組み --139/162-- - 200 - ( 5) メートル法の単位の仕組みについて理解できるようにする。 〔算数的活動〕( 1 ) イ 身の回りで使われている量の単位を見付けたり，それがこれまでに学習し た単位とどのような関係にあるかを調べたりする活動 第５学年までに，長さ，重さ，面積，体積，時間，角などの量の意味を理解し，そ の測定もできるようになっている。第６学年では，メートル法とその単位についてま とめ，その理解を深め，測定においてこれらの単位を有効に用いることができるよう にすることをねらいとしている。 メートル法の特徴としては， 十進法の仕組みによって単位が定められていることや， 基本単位を基にして組立単位が作られる仕組みをもっていることなどがあげられる。 メートル法では，基にしている単位に，下の表で示すような接頭語を付けて，単位 を作っている。 ミリ( m ) センチ( c) デシ( d)デカ(da) ヘクト( h)キロ(k ) １10倍100倍1000倍 この中には， 我が国ではほとんど使われていないものもあるが，これらを基にして， メートル法の仕組みについてまとめられる。 また，面積や体積の単位は，長さの単位を基にした組立単位として，次の表のよう にまとめられる。 長さの単位 1cm ( 10 cm）1m (10 m）(100 m)1km 面積の単位 1cm 2 (100 cm 2 ）1m 2 (100 m 2 )(100 a)1km 2 1a 1ha 体積の単位 1cm 3 (1000 cm 3 )1m 3 1ml 1l 1kl 1000 １ 100 １ １ 10 --140/162-- - 201 - 〔算数的活動〕(1)イ 身の回りで使われている量の単位を見付けたり，それがこれまでに学習した単位と どのような関係にあるかを調べたりする活動 この活動は，メートル法の単位の仕組みについて学習したことを活用することで， 新しい単位に出会ったときも類推して量の大きさを考えることができることから，メ ートル法のよさを実感を伴って理解することをねらいとしている。 日常生活の場面など児童の身の回りで，様々な単位が用いられている。飲料などの 量としてミリグラム（ mg ）やセンチリットル（ cl ）などが使われ，水道の使用量，タ ンクローリーの容量としてはキロリットル（ kl ）の単位が使われている。これらの単 位は，メートル法に従って接頭語 m (ミリ)， c (センチ)， k(キロ)を付けて作られた単 位である。そこで，身の回りからこれらの単位を見付け，見付けた単位は，どのよう な単位であるか，今までに学習した単位とどのような関係になっているのかを調べる のである。例えば，薬の箱に書かれた成分表に 100 mgと見付けた場合， g(グラム)と 書かれているから重さの単位であることに気付き， m (ミリ)と書かれているから，１ mg は１ g の の大きさであることを考え出すのである。 ここでは，これまでに学習した単位との関係等について，児童の興味・関心に基づ いて，日常生活などの中で自分で調べようとする態度を育てることが大切である。 〔Ｃ 図 形〕 Ｃ(1) 縮図や拡大図，対称な図形 ( 1 ) 図形についての観察や構成などの活動を通して，平面図形についての理解を 深める。 ア 縮図や拡大図について理解すること。 イ 対称な図形について理解すること。 1000 1 --141/162-- - 202 - 〔算数的活動〕( 1 ) ウ 身の回りから，縮図や拡大図，対称な図形を見付ける活動 〔用語・記号〕 線対称 点対称 第６学年では，図形を考察する新しい観点を学習するとともに，その観点からこ れまで学習してきた平面図形についてまとめることをねらいとしている。まとめる 観点としては，縮図や拡大図，図形の対称性の見方を指導する。このような観点か ら図形の理解を深め，図形に対する感覚を豊かにすることができるようにする。 なお，〔用語・記号〕では，線対称，点対称という用語を示している。これらの用 語を用いて説明したり，表現したりできるようにすることが大切である。 ア 縮図や拡大図 第５学年では，合同について指導し，その観点から図形を考察してきている。第６ 学年では，縮図や拡大図を指導し，相似の理解の基礎となる経験を豊かにし，それら を目的に応じて適切にかいたり読んだりできるようにすることをねらいとしている。 二つの図形が形も大きさも同じであるときに合同という。縮図や拡大図は，大きさ を問題にしないで，形が同じであるかどうかの観点から図形をとらえたものである。 互いに縮図や拡大図の関係にある図形については，その対応している角の大きさはす べて等しく，対応している辺の長さの比はどこでも一定である。 実際に，縮図や拡大図をかくに当たっては，次の図のように方眼の縦，横の両方の 向きに同じ割合で縮小，拡大したものを用いる場合や，一つの頂点に集まる辺や対角 線の長さの比を一定にしてかく場合がある。 このような作図を通して，縮図や拡大図の意味や特徴を理解できるようにする。 --142/162-- - 203 - ２倍の拡大図 の縮図 ２倍 イ 対称な図形 既習の図形を対称性という新しい観点から考察し，図形についての理解を深めるよ うにする。 対称性については，一つの図形について，線対称，点対 称の観点から考察する。線対称な図形とは，１本の直線を 折り目として折ったとき，ぴったり重なる図形をさす。その とき，対応する点を結ぶ線分は，すべて折り目にした直線 によって垂直に二等分される。これに対し，点対称な図形 とは，一つの点Ｏを中心にして 180゜回転したときに重な り合う図形である。そのとき，対応する点を結ぶ線分は， Ｏ すべて中心にした点である対称の中心Ｏを通り，その中心 によって二等分される。 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ １ ２ １ ２ --143/162-- - 204 - このような線対称，点対称の意味について，観察や構成，作図などの活動を通して 理解できるようにし，線対称な図形，点対称な図形，線対称でかつ点対称でもある図 形を弁別するなどの活動を通して，図形の見方を深めることが大切である。 例えば，線対称という観点から三角形をみると，二等辺三角形と正三角形を線対称 な図形ととらえることができる。また，点対称という観点から四角形をみると，平行 四辺形，ひし形，長方形，正方形を点対称な図形ととらえることができる。 対称性については，すでに低学年から図形を取り扱う際に，例えば，第３学年で二 等辺三角形は底辺の垂直二等分線を折り目にして折り重ねたときにぴったり重なるな ど，具体的な操作に関連して着目してきている。第６学年では，観察や構成，作図な どの活動を通して，均整のとれた美しさ，安定性など，図形のもつ美しさにも着目で きるように指導する。 〔算数的活動〕 （1）ウ 身の回りから，縮図や拡大図，対称な図形を見付ける活動 この活動は，縮図や拡大図が日常生活の中でいろいろと活用されていることに着目 させ，進んで活用しようとする態度を育てていくことをねらいとしている。 例えば，縮図や拡大図が，コピー機，地図，設計図，顕微鏡による像，写真，映画 など，日常生活の中でいろいろと活用されていることに着目させたり，身の回りに見 られる合同な図形が敷き詰められた床や壁など模様から縮図や拡大図を見付けたりさ せる。さらに，縮図や拡大図の考え方を活用する場面として，木の高さのように測定 しにくい部分を測定しやすい影の長さを測って求めさせたり，比との関連で，地図上 で1 ：100とあるのは地図上の 1cm が実際の 1m を表していることから，地図上の長 ﾌﾟｰﾙの図 12c m 25cm 25m □ m 1 ： 100 学校のプール --144/162-- - 205 - さから実際の長さを計算で求めさせたりする活動を通して，進んで生活に生かそうと する態度を育てていくようにする。例えば，学校のプールの図と縮尺を基にして，実 際のプールの長さを計算で求める活動がある。 対称性については，身の回りから対称な図形を見付ける活動を通して，図形のもつ 美しさや，日常生活に対称な形が用いられていることを実感的に理解できるようにす ることをねらいとしている。対称な図形については，敷き詰められた図形や敷き詰め られた模様などを通して，整った形の美しさとして日常生活でも見付けることができ る。また，対称な図形は，植物や動物，装飾品，模様，地図記号や都道府県のマーク など，身の回りのいたるところで見られるので，それらを見付ける活動を大切にして いくようにする。 〔Ｄ 数量関係〕 Ｄ(1) 比 ( 1) 比について理解できるようにする。 〔用語・記号〕 ： 二つの数量の大きさを比較しその割合を表す場合に，どちらか一方を基準量とする ことなく，簡単な整数の組を用いて表す方法が比である。第５学年までに，倍に関す る指導，分数の指導，比例関係に関する指導などの中で，比の素地となる見方を指導 してきている。 第６学年では，これらの基礎の上に，ａ：ｂという比の表し方を指導し，比につい て理解できるようにする。 指導に当たっては，具体的な場面によって，比の相等とそれらの意味について理解 させるようにする。例えば，同じ大きさのコップで３杯と５杯の２種類の液体を混ぜ 合わせた液体を作ったとき，これと同じ濃さの液体を別に作るには，６杯と10杯，９ --145/162-- - 206 - 杯と15杯など，両者の割合を等しくする必要がある。このことから，３：５は， ６：10，９：15などや1.5：2.5 などと等しいことを理解させる。 比は，日常生活のいろいろな場面で用いられるので，日常生活の中から比が用いら れる事象を探したり，それを活用して物事を処理したりするような活動を行うなど， 指導方法を工夫する必要がある。また，比は，比例，反比例や縮図・拡大図などと深 い関連があるので，相互に理解を深めることができるように十分配慮して指導する必 要がある。 Ｄ(2) 比例 ( 2) 伴って変わる二つの数量の関係を考察することができるようにする。 ア 比例の関係について理解すること。また，式，表，グラフを用いてその特 徴を調べること。 イ 比例の関係を用いて，問題を解決すること。 ウ 反比例の関係について知ること。 〔算数的活動〕( 1 ) エ 身の回りから，比例の関係にある二つの数量を見付けたり，比例の関係を 用いて問題を解決したりする活動 第６学年では， これまでに指導してきた数量関係についての見方をまとめるために， 伴って変わる二つの数量の中から特に比例の関係にあるものを中心に考察し，関数の 考えを伸ばすことをねらいとしている。 ア 比例の式，表，グラフ 比例の意味として，次のようなことをあげることができる。 (ｱ）二つの数量Ａ，Ｂがあり，一方の量が２倍，３倍，４倍，…と変化するのに伴 って，他方の数量も２倍，３倍，４倍，…と変化し，一方 が，，，…と １ ２ １ ３ １ ４ --146/162-- - 207 - 変化するのに伴って，他方も ，，，，…と変化するということ。 (ｲ） (ｱ）の見方を一般的にして，二つの数量の一方が m倍になれば，それと対応 する他方の数量は m倍というようになるということ。 (ｳ）二つの数量の対応している値の商に着目すると，それがどこも一定になってい るということ。 第５学年までに，伴って変わる二つの数量の関係については，その対応や変化の仕 方の特徴について，表などを用いて調べることを中心に指導している。特に，第５学 年では，簡単な場合について，比例の関係を理解させている。 第６学年では，これまでに指導してきた数量の関係について整理する立場から考察 し，(ｱ）のような特徴をもった数量の関係として比例をとらえられるようにする。そ の際，日常の事象における二つの伴って変わる数量の関係を表などに表し，変化の特 徴を調べることを通して，比例関係を見いだすような活動を取り入れることが大切で ある。 また，児童にとって， （ｱ）の見方から（ｲ）の見方ができるようになることは必ず しも容易でない。そのため，具体的な表を基にしながらいろいろな数値について実際 に調べてみるなど，(ｲ）の見方に気付いていけるような活動を取り入れる指導を工夫 することが大切である。 さらに，対応している値の商に着目する（ｳ）の見方は，関数の考えからみて，二 つの数量が比例の関係にあるかどうかを調べる上でも有効であるので，こうした対応 の見方をよく理解できるよう指導をしておくことが必要である。 比例の関係を表す式は， （ｳ）の商を kとすると， y ＝k ×x という形で表される。 一般に，比例の関係を表すグラフは，原点を通る直線として表される。これは，比 例の関係を見分けるときなどに用いられる重要な性質である。ここでは，伴って変わ る様々な二つの数量の関係をグラフに表すなどの活動を通して，比例する二つの数量 について，そのグラフが直線になることを，具体的な数量に即して理解できるよう指 導することが必要である。 １ ２ １ ３ １ ４ --147/162-- --147/162-- - 208 - イ 比例の関係を用いて問題を解決すること 第６学年では，これまでに指導してきた乗法，割合，比，比例などについて，比例 の関係からまとめるとともに，比例の関係を問題の解決に利用するなどして，関数の 考えを深めるようにする。 比例の関係が有効に用いられる場面を用意し，比例の関係を用いると手際よく問題 を解決することができるなどのよさを味わわせるよう配慮し，日常の問題の解決に進 んで比例の関係を活用しようとする態度を育てるようにする。 ウ反比例 反比例の関係について知り， 比例についての理解を深めることをねらいとしている。 反比例の意味として，次のようなことをあげることができる。 (ｱ） 二つの数量Ａ，Ｂがあり，一方の量が２倍，３倍，４倍，…と変化するのに 伴って，他方の数量は ， ， ，…と変化し，一方 が ， ， ，…と変 化するのに伴って，他方は，２倍，３倍，４倍，…と変化するということ。 (ｲ) (ｱ)の見方を一般的にして，二つの数量の一方がｍ倍になれば，それと対応す る他方の数量は 倍になるということ。 (ｳ) 二つの数量の対応している値の積に着目すると，それがどこも一定になってい るということ。 指導に当たっては，比例と反比例を比較することが大切である。反比例のグラフに ついては，児童が反比例の関係を満足する幾つかの点をとったり、教師がグラフに示 したりすることで，変化の様子を調べられるようにして，比例と反比例の違いに気付 けるようにする。 〔算数的活動〕(1)エ 身の回りから，比例の関係にある二つの数量を見付けたり，比例の関係を用いて問 題を解決したりする活動 この活動は，児童が日常生活の中から比例の関係にある事象を見付け出したり，比 例の関係を用いて効率よく問題を解決したりするなど，比例の関係を活用することが １ ２ １ ３ １ ４ １ ２ １ ３ １ ４ １ ｍ --148/162-- - 209 - できるようにするものである。算数を学ぶことの楽しさや意義を実感できるようにす ることも大切なねらいである。 比例の関係を用いると能率よく問題を解決することのできる問題場面としては，次 のようなものがある。 「たくさんの紙の枚数を調べる場面で，紙の枚数とその重さが比例の関係にあるこ とを用いればよいことに気付き，ある枚数を取り出して，その重さを測定し，その重 さが□倍になれば紙全体の重さになることを求め，紙全体の枚数も取り出した枚数の □倍になると考えて，紙全体の枚数を求める」 ， 「巻いてある針金の長さを調べる場 面で，針金の長さとその重さが比例の関係にあることを用いればよいことに気付き， ある長さを取り出して，その重さを測り，その重さが△倍になれば全体の重さになる ことを求め，針金全体の長さも取り出した長さの△倍になると考えて，針金全体の長 さを求める」など，様々な場面から見付けだすことができる。 このような問題を児童自身が見付け出せるようにするとともに，日常生活や算数の 学習などの場面で，効率のよい処理の仕方を求めて，積極的に比例の関係を生かして いこうとする態度を養うよう配慮することが大切である。 Ｄ(3) 文字を用いた式 ( 3) 数量の関係を表す式についての理解を深め，式を用いることができるよう にする。 ア 数量を表す言葉や□，△などの代わりに， a，x などの文字を用いて式に 表したり，文字に数を当てはめて調べたりすること。 第６学年では，数量の関係を表す式についての理解を深め，式に表したり，式を読 み取ったりするなど，式を用いることができるようにすることをねらいとしている。 アa，x などの文字を用いた式 第４学年では，数量を□，△などを用いて表し，その関係を式に表したり，□，△ などに数を当てはめて調べたりすることを指導している。この理解の上に，第６学年 では，数量を表す言葉や□，△などの代わりに， a，x などの文字を用いて式に表し， --149/162-- - 210 - 文字の使用に次第に慣れることができるようにする。 文字が本格的に使用されるのは，中学校からである。中学校数学科とのなだらかな 接続という観点からも，簡潔に表すことができるなど， a，x などの文字を用いて式 で表すことのよさを味わうことのできる素地を養っておくことが大切である。 指導に当たっては，□，△などについての理解の上に，□，△などの代わりに， a， x などの文字を用いるようにする。その際，数を当てはめて調べる活動などを通して， 整数値だけでなく，小数や分数の値も整数と同じように当てはめることができること に目を向け，数の範囲を拡張して考えることができるよう配慮する必要がある。 Ｄ(4) 資料の考察 ( 4) 資料の平均や散らばりを調べ，統計的に考察したり表現したりすることが できるようにする。 ア 資料の平均について知ること。 イ 度数分布を表す表やグラフについて知ること。 第６学年では，資料の代表値としての平均や度数分布の表，柱状グラフを取り扱う など，統計的な考察をしたり表現をしたりする能力を伸ばすことをねらいとしている。 ア 資料の平均 第５学年の「Ｂ量と測定」の領域の(3)では，測定値の平均について指導してきて いる。この指導の上に，第６学年では，資料の代表値としての平均について知り，平 均についての理解を深めることをねらいとしている。 資料がある範囲にわたって分布しているときに，その傾向をとらえるために，資料 を代表する値として平均がよく用いられる。第６学年では，幾つかの数量があったと きそれらを同じ大きさの数量にならすという意味を踏まえながら，集団の特徴を表す 値として平均が用いられることに触れるようにする。 その際，資料の傾向を表すものとして，資料の散らばりについても指導する。平均 が同じであっても，値が密集しているか，分散しているかによって，資料の特徴が異 なることなどについて理解できるようにすることが必要である。そのためには，数直 --150/162-- - 211 - 線上に値を点で示すなど，散らばりの様子を表す工夫を行う活動を取り入れることが 大切である。 そして，平均を用いて，身の回りにある事柄について統計的な考察をしたり表現し たりする能力を伸ばすよう配慮することが大切である。 イ 度数分布を表す表やグラフ 資料がある範囲にわたって分布しているときに，資料全体の分布の様子や特徴を分 かりやすくするためには，度数分布表や柱状グラフ(ヒストグラム）に表すとよいこ とを知らせ，それらをかいたり読み取ったりできるようにする。 度数分布表は，分布の様子を数量的にとらえやすくするために，数量を幾つかの区 間（階級という）に分けて，各区間に，それに入る度数を対応させた表である。 柱状グラフについては，各階級の幅を横とし，度数を縦とする長方形をかいたもの という程度の理解でよい。 統計的な処理で大切なことの一つに，ねらいに合った資料の整理がある。階級の幅 をどのようにとるかなど，分類，整理をうまく行うかどうかによって，資料の傾向や 特徴がつかみやすくなったり，つかみにくくなったりすることがあるので，このこと についても配慮する必要がある。 Ｄ(5) 起こり得る場合 ( 5) 具体的な事柄について，起こり得る場合を順序よく整理して調べることが できるようにする。 第５学年までの分類整理して考える活動の上に，第６学年では，起こり得るすべて の場合を適切な観点から分類整理して，順序よく列挙できるようにすることをねらい としている。 起こり得る場合を順序よく整理して調べるとは，思いつくままに列挙していたので は落ちや重なりが生じるような順序や組み合わせなどの事象について，規則に従って 正しく並べたり，整理して見やすくしたりして，誤りなくすべての場合を明らかにす ることを指している。 --151/162-- - 212 - 指導に当たっては，結果として何通りの場合があるかを明らかにすることよりも， 整理して考える過程に重点をおき，具体的な事実に即して，図，表などを用いて表す などの工夫をしながら，落ちや重なりがないように，順序よく調べていこうとする態 度を育てるよう配慮する必要がある。 例えば，４人が一列に並ぶ場合を考えるときには，特定のＡに着目して，まずＡが 先頭に立つ場合を考える。２番目の位置にＢが並ぶとすれば，３番目はＣかＤになる。 次に，２番目の位置に Cが並ぶ場合，Ｄが並ぶ場合と考えを進めていく。そうする と，Ａが先頭に立つ場合は，次の図のように６通りであることを明らかにすることが できる。Ａのほかにも，Ｂ，Ｃ，Ｄが先頭に立つことができることから，起こり得る 場合を図をかいて調べると 24通りであることが分かる。 Ａ- Ｂ- Ｃ- Ｄ Ａ- Ｂ- Ｄ- Ｃ Ａ- Ｃ- Ｂ- Ｄ Ａ- Ｃ- Ｄ- Ｂ Ａ- Ｄ- Ｂ- Ｃ Ａ- Ｄ- Ｃ- Ｂ また，四つのチームの対戦の組み合わせを考えるときには，次の図や表に示すよう な方法で，すべての場合を落ちや重なりがないように調べていくことができる。 Ａ- Ｂ Ａ- Ｃ Ａ- Ｄ Ｂ- Ｃ Ｂ- Ｄ Ｃ- Ｄ このように，図や表を適切に用いることができるようにするとともに，条件に従っ て筋道を立てて考えを進めていけるようにすることが大切である。また，名前を記号 化して端的に表すことは，順序よく整理して調べる際に有効であることを実感できる ようにすることも大切である。 ＣＤ Ｂ ＤＣ ＢＤ ＡＣ ＤＢ ＢＣ Ｄ ＣＢ ＡＤ ＢＣ ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ --152/162-- - 213 - 〔算数的活動〕 ( 1) 内容の「Ａ数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ， 「Ｃ図形」及び「Ｄ数量関係」に示 す事項については，例えば，次のような算数的活動を通して指導するものとす る。 ア 分数についての計算の意味や計算の仕方を，言葉，数，式，図，数直線を 用いて考え，説明する活動 イ 身の回りで使われている量の単位を見付けたり，それがこれまでに学習し た単位とどのような関係にあるかを調べたりする活動 ウ 身の回りから，縮図や拡大図，対称な図形を見付ける活動 エ 身の回りから，比例の関係にある二つの数量を見付けたり，比例の関係を 用いて問題を解決したりする活動 〔用語・記号〕 線対称 点対称 ： --153/162-- - 214 - 第４章 指導計画の作成と内容の取扱い 学習指導要領の「第３ 指導計画の作成と内容の取扱い」では， 「指導計画の作成」 と「内容の取扱い」を分けて示している。 １ 指導計画作成上の配慮事項 (1) 継続的な指導や学年間の円滑な接続 ( 1) 第２の各学年の内容は，次の学年以降においても必要に応じて継続して指導 すること。数量や図形についての基礎的な能力の習熟や維持を図るため，適宜 練習の機会を設けて計画的に指導すること。また，学年間の指導内容を円滑に 接続させるため，適切な反復による学習指導を進めるようにすること。 算数科の指導では，数量や図形についての基礎的・基本的な知識及び技能を確実に 定着させるとともに， 必要な場面においてそれらを活用できるようにする必要がある。 そのためには，各学年で指導した内容が児童に身に付いているかどうかを評価し，次 の学年以降においても必要に応じて継続して指導する必要がある。 算数科においては， 内容の系統性や連続性が比較的にはっきりしており，これまでに指導した内容を基に して，それに積み重ねる形で新しい内容を指導することが多い。児童が既に学習して きた内容であっても，新しい内容の学習に必要なものについては，次の学年以降にお いても児童の実態に応じて継続して指導することが必要である。 また，知識及び技能や，思考力，判断力，表現力等にかかわる基礎的な能力につい ては，その習熟や維持を図るために，適切な練習の機会を設ける必要がある。児童の 学習状況をみながら適度の繰り返し練習の機会を設けることが大切である。また，問 題解決における活用の場面を設けたり，生活などへの活用の場面を設けたりすること --154/162-- - 215 - も，習熟や維持を図るためのよい練習の機会となるので，そうした面から計画的な指 導を工夫することが大切である。 また今回の改訂では，算数としての内容の系統性を大切にしながら，学年間で内容 の程度を少しずつ高めてつなげていくスパイラルな教育課程を編成することを重視し ている。学年間の指導内容を円滑に接続させるため，同じ系統の内容について取扱い を少しずつ高め発展させていくように，各学年において適切な反復による学習指導を 進めるようにする必要がある。 (2) 領域間の指導の関連 ( 2) 第２の各学年の内容の「Ａ数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ， 「Ｃ図形」及び「Ｄ 数量関係」の間の指導の関連を図ること。 学習指導要領では，数，量，図形などの内容のまとまりごとに領域を設けている。 第１学年から第６学年まで， 「Ａ数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ，「Ｃ図形」及び「Ｄ数量 関係」の４領域に分けて内容を示している。しかし，算数科の指導においては，例え ば面積の求め方を考えることの指導についてみてみると，面積の意味や表し方は「Ｂ 量と測定」領域の内容であり，面積を求める対象となる図形は「Ｃ図形」の内容であ る。また，面積を計算によって求めることは「Ａ数と計算」領域にかかわり，公式を つくることや式の見方は「Ｄ数量関係」領域にかかわっている。このように，複数の 領域の内容がかかわりながら，学習指導が進められているのである。そのため，指導 計画の作成に当たっては，ある領域で指導した内容を，他領域の内容の学習指導の場 面で活用するなどして，複数の領域間の指導の関連を図るようにする必要があること を示した。 (3) 算数的活動を通しての指導 ( 3) 算数的活動は，基礎的・基本的な知識及び技能を確実に身に付けたり，思考 力，判断力，表現力等を高めたり，算数を学ぶことの楽しさや意義を実感した りするために，重要な役割を果たすものであることから，各学年の内容の「Ａ --155/162-- - 216 - 数と計算」 ， 「Ｂ量と測定」 ， 「Ｃ図形」及び「Ｄ数量関係」に示す事項につい ては，算数的活動を通して指導するようにすること。 算数科の目標のはじめには「算数的活動を通して」という文言があり，この部分が 目標の全体にかかっている。これは，児童が算数的活動に取り組み，教師が適切に指 導を行うことによって目標に示されていることを実現するという，学習指導の進め方 の基本的な考え方を述べたものである。 具体的には，各領域に示すすべての事項において，算数的活動を通した指導を行う 必要があるということである。ただし，その指導の過程において，必要に応じて教師 が説明をしたり，計算練習を行う場面を設けたりすることは，当然あり得るものであ り，そのことを否定するものではない。 算数的活動とは，児童が目的意識をもって主体的に取り組む算数にかかわりのある 様々な活動を意味している。 ここで「目的意識をもって主体的に取り組む」とは，新たな性質や考え方を見いだ そうとしたり，具体的な課題を解決しようとしたりすることである。算数的活動を通 して，数量や図形の意味を実感をもってとらえたり，思考力，判断力，表現力等を高 めたりできるようにするとともに，算数を学ぶことの楽しさや意義を実感できるよう にするためには，児童が目的意識をもって主体的に取り組む活動となるように指導す る必要がある。その意味で，例えば，教師の説明を一方的に聞くだけの学習や，単な る計算練習を行うだけの学習は，算数的活動には含まれない。 算数的活動には，様々な活動が含まれ得るものであり，作業的・体験的な活動など 身体を使ったり，具体物を用いたりする活動を主とするものがあげられることが多い が，そうした活動に限られるものではない。算数に関する課題について考えたり，算 数の知識をもとに発展的・応用的に考えたりする活動や，考えたことなどを表現した り，説明したりする活動は，具体物などを用いた活動でないとしても算数的活動に含 まれる。 一般的には，低学年では作業的活動や体験的活動などが中心であり，発達段階が上 がるにつれて思考や表現などにかかわる活動が多くみられるようになってくる。 --156/162-- - 217 - 今回の改訂では，授業における算数的活動の在り方を明確にし，算数的活動の一層 の充実を図るために，各学年の内容において，算数的活動の具体例をあげることとし た。例示としてあげていることからも分かるように，そこで示されている算数的活動 をその通りに行うこともあるし，また類似した活動を設定して指導に取り入れること も考えられる。さらに，内容で示されていない算数的活動についても学校や教師の工 夫によって新たに設定して取り入れるようにすることが必要である。 なお，算数的活動を，その形態などに着目して整理すると，次のような分類の仕方 が考えられる。 手や身体などを使ってものを作るなどの作業的な活動。 教室の内外において各自が実際に行ったり確かめたりする体験的な活動。 身の回りにある具体物を用いた活動。 実態や数量などを調査する活動。 数量や図形の意味，性質や問題解決の方法などを見付けたりつくりだしたりする探 究的な活動。 学習したことをさらに発展させて考える活動。 学習したことを様々な場面に応用する活動。 算数や他教科等の学習を通して身に付けたものを総合的に用いる活動。 (4) 道徳教育との関連 ( 4) 第１章総則の第１の２及び第３章道徳の第１に示す道徳教育の目標に基づ き，道徳の時間などとの関連を考慮しながら，第３章道徳の第２に示す内容に ついて，算数科の特質に応じて適切な指導をすること。 学習指導要領の第１章総則の第１の２においては， 「学校における道徳教育は，道 徳の時間を 要 として学校の教育活動全体を通じて行うものであり，道徳の時間はも かなめ とより，各教科，外国語活動，総合的な学習の時間及び特別活動のそれぞれの特質に 応じて，児童の発達の段階を考慮して，適切な指導を行わなければならない」と規定 されている。 --157/162-- --157/162-- - 218 - これを受けて，算数科の指導においては，その特質に応じて，道徳について適切に 指導する必要があることを示すものである。 算数科における道徳教育の指導においては，学習活動や学習態度への配慮，教師の 態度や行動による感化とともに，以下に示すような算数科の目標と道徳教育との関連 を明確に意識しながら，適切な指導を行う必要がある。 算数科においては，目標を「算数的活動を通して，数量や図形についての基礎的・ 基本的な知識及び技能を身に付け，日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考 え，表現する能力を育てるとともに，算数的活動の楽しさや数理的な処理のよさに気 付き，進んで生活や学習に活用しようとする態度を育てる。 」と示している。 児童が日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考え，表現する能力を育てる ことは，道徳的判断力の育成にも資するものである。また，数理的にものごとを考え たり処理したりすることを生活や学習に活用しようとする態度を育てることは，工夫 して生活や学習をしようとする態度を育てることにも資するものである。 次に，道徳教育の 要 としての道徳の時間の指導との関連を考慮する必要がある。 かなめ 算数科で扱った内容や教材の中で適切なものを，道徳の時間に活用することが効果的 な場合もある。また，道徳の時間で取り上げたことに関係のある内容や教材を算数科 で扱う場合には，道徳の時間における指導の成果を生かすように工夫することも考え られる。そのためにも，算数科の年間指導計画の作成などに際して，道徳教育の全体 計画との関連，指導の内容及び時期等に配慮し，両者が相互に効果を高め合うように することが大切である。 ２ 内容の取扱いについての配慮事項 (1) およその大きさや形をとらえ，適切に判断すること ( 1) 数量や図形についての豊かな感覚を育てるとともに，およその大きさや形を とらえ，それらに基づいて適切に判断したり，能率的な処理の仕方を考え出し --158/162-- - 219 - たりすることができるようにすること。 数についての感覚，量の大きさについての感覚，図形についての感覚を豊かに育て ることが大切であり，そのことは，各学年の指導内容にかかわるものである。また， 数量や図形についてのおよその大きさや形をとらえて，それらに基づいて適切に判断 したり，能率的な処理の仕方を考え出したりすることを常に配慮した授業を展開する 必要がある。 数量や図形についてのおよその大きさや形をとらえることによって，解決の見通し をもつことができ，大きな誤りを防ぐことができる。問題を解決する際に，見積りや 概数などがどんな目的で用いられるかを明確にし，結果や方法をおおまかにとらえて 見通しをもって考えを進めていくことを重視する必要がある。 そのため，低学年から，計算の結果の見通しをもつなど，見積りの指導との関連を 図り，およその大きさや形をとらえることの素地を培うための指導を工夫する必要が ある。見積りをする際には，既習の内容などを活用することが多いことから，児童の 多様な考え方や表現の仕方がみられるので，指導に当たっては適切に対応することが 大切である。 (2) 考えを表現し伝え合うなどの学習活動 ( 2) 思考力，判断力，表現力等を育成するため，各学年の内容の指導に当たって は，言葉，数，式，図，表，グラフを用いて考えたり，説明したり，互いに自 分の考えを表現し伝え合ったりするなどの学習活動を積極的に取り入れるよう にすること。 数学的な思考力，判断力，表現力等は，合理的，論理的に考えを進めるとともに， 互いの知的なコミュニケーションを図るために重要な役割を果たすものである。その 一方で，全国的な調査の結果などからは，児童が自分の考えたことを説明することに 課題がみられるとの指摘がある。 ここでは，数学的な思考力，判断力，表現力等を育成するために，各学年の内容の --159/162-- - 220 - 指導に当たっては，言葉，数，式，図，表，グラフを用いて考えたり，説明したり， 互いに自分の考えを表現し伝え合ったりするなどの学習活動を積極的に取り入れるよ うにすることの必要性について示している。算数科の指導では，言葉による表現とと もに，数，式，図，表，グラフといった数学的な表現の方法を用いることに特質があ る。このような表現の方法について学ぶとともに，それらを活用する指導を工夫する ことが大切である。 (3) 用語・記号の指導 ( 3) 各学年の内容に示す〔用語・記号〕は，当該学年で取り上げる内容の程度や 範囲を明確にするために示したものであり，その指導に当たっては，各学年の 内容と密接に関連させて取り上げるようにし，それらを用いて表したり考えた りすることのよさが分かるようにすること。 各学年の内容に〔用語・記号〕の示されていることの意図と，指導に当たっての配 慮事項を示している。用語や記号は活用することが大切であり，用語や記号を用いて 表したり考えたりすることのよさが分かるよう配慮することについて示したものであ る。 (4) 筆算による計算の技能や計算の結果の見積り ( 4) 筆算による計算の技能を確実に身に付けることを重視するとともに，目的に 応じて計算の結果の見積りをして，計算の仕方や結果について適切に判断でき るようにすること。また，低学年の「Ａ数と計算」の指導に当たっては，そろ ばんや具体物などの教具を適宜用いて，数と計算についての意味の理解を深め るよう留意すること。 筆算による計算の技能については，算数科の基礎となる能力として確実に身に付け るようにすることが大切であることを示している。計算の指導においては，筆算の計 算の仕方を形式的に伝えるのではなく，数の仕組みや計算の意味に基づいて考えるこ --160/162-- - 221 - とが大切である。その際，目的に応じて計算の結果の見積もりをして，計算の仕方や 結果について適切に判断できるようにすることが必要であることを示している。 また，特に低学年においては，具体物などを用いて数と計算の意味について理解し たり，自分の考えを表現したりすることが必要となるため，そろばんや具体物などの 教具を適宜用いることが効果的であることを示している。 (5) コンピュータなどの活用 ( 5) 数量や図形についての感覚を豊かにしたり，表やグラフを用いて表現する力 を高めたりするなどのため，必要な場面においてコンピュータなどを適切に活 用すること。 算数科の指導においては，コンピュータなどを用いて，知識・技能の活用を図った り，児童の能力をさらに創造的に発揮させたりすることが大切であることを示してい る。その際，資料などの情報を分類整理したり，表やグラフを用いて表現したり，図 形を動的に変化させたり，数理的な実験をしたりするなど，コンピュータのもつ機能 を効果的に活用することによって，数量や図形についての感覚を豊かにしたり，表現 する力を高めたりするような指導の工夫が考えられる。 --161/162-- 小学校学習指導要領解説算数編作成協力者（五十音順） （職名は平成20年６月末日現在） 赤 井 利 行 九州女子大学准教授 笠 井 健 一 山形大学講師 金 本 良 通 埼玉大学教授 小 西 豊 文 大阪成蹊短期大学教授 清 水 誉志人 神奈川県横浜市立篠原中学校長 鈴 木 直 子 埼玉県さいたま市立大谷場小学校教諭 滝 井 章 東京都府中市立小柳小学校教諭 鶴 見 行 雄 栃木県教育委員会指導主事 中 川 愼 一 富山県教育委員会主任指導主事 中 村 享 史 山梨大学教授 橋 本 吉 彦 横浜国立大学教授 深 澤 美津子 フリーアナウンサー（元アール・エフ・ラジオ日本） 福 岡 八重子 神奈川県横須賀市立桜小学校長 福 島 正 美 埼玉県川越市立寺尾小学校教頭 細 水 保 宏 筑波大学附属小学校教諭 なお，文部科学省においては，次の者が本書の編集に当たった。 橋 道 和 初等中等教育局教育課程課長 牛 尾 則 文 初等中等教育局視学官 吉 川 成 夫 初等中等教育局視学官 神 山 弘 初等中等教育局教育課程課専門官 坂 下 裕 一 金沢大学研究国際部学術国際課長 （前初等中等教育局教育課程課専門官） --162/162--